二次函数求最值参数分类讨论的方法

分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．

一般地,对于二次函数y=a(x?m)2+n，x∈[t，s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。然后，再根据口诀“开口向tt+s2s上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论

① ② ③ ④ 题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值

例１、求函数f(x)?x?2ax?3在x?[0,4]上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：f(x)?x?2ax?3?(x?a)?3?a ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a

①、当a＜0时，0距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远， ∴x=0时，ymin=3，x=4时，ymax=19-8a

②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远， ∴x=a时，ymin=3-a2，x=4时，ymax=19-8a

③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远， ∴x=a时，ymin=3-a2，x=0时，ymax=3

④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远， ∴x=4时，ymin=19-8a，x=0时，ymax=3 例2、已知函数f(x)?ax?(2a?1)x?3在区间[?222223,2]上最大值为1,求实数a的值 2分析:取a=0,a≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论. 解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在[?3,2]上取不到最大值为1,∴a≠0 21?2a22)若a≠0,则f(x)?ax?(2a?1)x?3的对称轴为x0?

2a310233?[?,2] (Ⅰ)若f(?)?1，解得a??，此时x0??2320223)?1 20313(Ⅱ) 若f(2)?1解得a?此时x0???[?,2]

43231a??0,x0??距右端点2较远，f(2)最大值符合条件

43a<0, f(x0)为最大值，但

f(?(Ⅲ) 若f(x0)?1解得a??3?22 2当a??3?223?0时x0??22?4?[?,2] 22?3?223?0时x0?22?4?[?,2] 22当a?综收所述a??3?223或a? 24评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值

例3．求函数f(x)?x?2x?3在x∈［a,a+2］上的最值。

解：f(x)?x?2x?3?(x?1)?2 ∴此函数图像开口向上，对称轴x=1

①当a＞1时，a距对称轴x=1最近，a+2距x=1最远，

２２

∴当x=a时，ymin=- a+3 ,x=a+2时，ymax= a +2a+3

222②当0＜a≤1时，1距对称轴x=1最近，a+2距离x=1最远，

２

∴当x=1时，ymin=2 ,x=a+2时，ymax= a +2a+3

③当-1＜a≤0时，1距对称轴x=1最近，a距x=1最远，

２

∴当x=1时，ymin=2 ,x=a时，ymax=a-2a+3

④当a≤-1时，a+2距对称轴x=1最近，a距x=1最远， ∴当x=a+2时，ymin= a +2a+3 ,x=a时，ymax= a -2a+3

２

２

题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值

例５、已知函数f(x)?9x?6ax?a?10a?6在[?数b的范围．

分析：找出函数的对称轴：x?221,b]上恒大于或等于０，其中实数a?[3,??),求实3a1a1a结合区间[?,b]讨论?b或???b的情况 33333解：∵

a1f(x)?9(x?)2?10a?6,x?[?,b]

33a1若?b时，f(x)在[?,b]上是减函数 33a2a2∴ymin=f(b)?9(b?)?10a?6即9(b?)?10a?6≥0则条件成立

3322令u?g(a)?a?(6b?10)a?9b?6,a?[3,??) (Ⅰ)当3b+5≤3时.即b??2?3,???上是增函数

则函数g(x)在32∴umin?g(3)?9?18b?30?9b?6 即9b?18b?27?0解得b≥3或b≤-1 ∵b??22,∴b≤-1 32,umin?g(3b?5)??30b?31 3312若-30b-31≥0解得b??与b??矛盾;

3031aa(2)若???b时, ymin?f()??10a?6即-10a-6≥0

3333解得a??与a?[3,??)矛盾;

5(Ⅱ)当3b+5>3即b??综上述：b≤-1

评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。

最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．

二次函数分类讨论补充习题

1．已知函数

f?x??x2?2x?2，若x??a,a?2?,a?R，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

22．已知函数f(x)??x?3，若f(x)??2kx?6在区间?1,2上恒成立，求实数k的取值范围。 3．已知k为非零实数，求二次函数y?kx?2kx?1,x?(??,2]的最小值。 4．已知a?3，若函数

2??f?x??x2?2ax?1在?1,3?上的最大值为M?a?，最小值为m?a?，又已知函数

g?a??M?a??m?a?，求g?a?的表达式。

含参数的二次函数问题练习题

1、当1?x?4时，求函数y??x2?4x?2的最小值。