高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题 下载本文

故 cosA??1,A=120° ??6分 2(Ⅱ)由(Ⅰ)得: sinB?sinC?sinB?sin(60??B) 31cosB?sinB 2 2?sin(60??B)?故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。 补充: 海伦公式: 有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: 而公式里的p为半周长(周长的一半): 基本关系转化: 倒数关系: ;商的关系: 平方关系: ; ; ; 和差角公式 11

和差化积 口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩 正减正,余在前,余减余,负正弦 积化和差 倍角公式 二倍角 三倍角

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三倍角公式推导

sin(3a)→3sina-4sin^3a =sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a

cos3a→4cos^3a-3cosa =cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa

sin3a→4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a→4cosacos(60°-a)cos(60°+a) =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) tan3a→tanatan(60°-a)tan(60°+a) 上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 三倍角

sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

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半角公式 (正负由所在的象限决定) 万能公式

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