设直线AB的方程为y??1x?m. 21?y??x?m?由? 得x2?mx?m2?3?0 2?3x2?4y2?12?222所以|AB|?1?(?)m?4(m?3)?12154?m2 2又原点O到直线AB的距离为d?2|m|. 5所以?OAB的面积S?OAB?1152|m|3?4?m2??m2(4?m2) 22253m2?(4?m2)???3. 22当且仅当m2?4?m2，即m2?2,m??2时.

?OAB的面积达到最大.且最大值为

3 . ............... ...........................................13分

由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形, 所以，四边形ABMN的面积S?4S?OAB?43 , 故四边形ABMN面积的最大值为

43 . ............... ...........................................14分

20.解〔I〕由题意可知f(x)?(x?1)2?. 所以

13131112............... ...........................................Sn?(n?1)2??n2?n(n?N?).3333

1分

当n?2时，an?Sn?Sn?1?122122n?1n?n?[(n?1)2?(n?1)]?. 33333当n?1时a1?S1?1适合上式

所以，数列{an}的通项公式为

an?2n?1(n?N?)................ ...........................................4分 3〔II〕因为bn?anan?1cos(n?1)?,(n?N?) 所以Tn?b1?b2??bn

?(?1)n?1anan?1

?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5?由〔I〕可知，数列{an}是以1为首项，公差为

① 当n?2m,m?N时，

?2的等差数列. 3Tn?T2m?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5??(?1)2m?1a2ma2m?1

?a2(a1?a3)?a4(a3?a5)? ??(a2?a4??a2m(a2m?1?a2m?1)

44a?a2m?a2m)???2?m33211??(8m2?12m)??(2n2?6n).99?② 当n?2m?1,m?N时，

Tn?T2m?1?T2m?(?1)2m?1a2ma2m?1

11??(8m2?12m)?(16m2?16m?3)99 11?(8m2?4m?3)?(2n2?6n?7).99所以

?12?(2n?6n),n??9Tn??

?1(2n2?6n?7),n??9............... ..................................

.........7分

要使Tn?tn2对n?N?恒成立，

只要使?(2n2?6n)?tn2(n为正偶数〕恒成立. 即使?(2?)?t对n为正偶数恒成立，

19196n故实数t的取值范围是

5............... ...........................................9分 (??,?].9

〔III〕由an?2n?1知，数列{an}中每一项都不可能是偶数. 3?① 如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank},k?N，此时{ank}中每一项除第一

项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}. ② 当q?1时，显然不存在这样的数列{ank}.

当q?3时，假设存在以a1为首项，公比为3的数列{ank},k?N?，那么an1?1, n1?1,ank?3k?12nk?13k?1?,nk?.

323k?1(k?N?). 所以存在满足条件的数列{ank}，且nk?2............... ..................................

.........13分