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1. 如图，在梯形 ABCD 中，AB//CD, AB=4, CD=2.E, F 分别 为AD BC上的点，且EF=3, EF//AB,求梯形ABFE与梯形 EFCD的面积

比.

解如图，延长AD, BC交于一点O,作丄于点 ???注厂|,得x=2h\\, 鳥黑今 得

hx=h

~

S

梯形 EFCD=2 (2+3) X力 1 =卫 1, ?；S梯形ABFE : S梯形EFCD = = : 5?

A

X

2. 如图所示，AD. BE是AABC的两条高，DF丄AB,垂足为F, 直线FD交BE于点G,交AC的延长线于点H,求证：DF=

GF-HF.

证明 VZW+ZBAC=90°, ZGBF+ ZBAC=9Q°,二 ZH= ZGBF.T ZAFH

HF AF =ZGFB = 90° ,???仏AFHS/\\GFB.???丽=而，?^AFBF = GF HF.因为在

RtAABD 屮，FD丄AB, :.DF1=AF BF,

所以 DF=GFHF.

3. 如图,D,E分别为△ABC边AB, AC的中点，直线DE交△ABC

的外接圆于F, G两点.若CF//AB. 证明：（1）CD=BC；

⑵ HBCDs △GBD

证明（1）因为D E分别为AB, AC的中点，所以DE//BC.又已知CF//AB,故

四边形BCFD是平行四边形，所以CF=BD=AD?而CF〃AD 连接AF,所以四 边形ADCF是平行四边形，故CD=AF. 因为CF//AB,所以存=瓮，所以BC=AF,故CD=BC.

（2）因为FG//BC,所以簡=前，故GB=CF.

由⑴可知BD=CF,所以GB=BD.

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J

所以ZBGD=ZBDG,因为 CD=BC,所以ZCBD= ZCDB.

因为 ZBGD= ZEFC= ZDBC, 故厶 BCDsMBD.

4. (2015-全国I卷妆n图，AB是OO的直径，AC是(DO的切线, BC交?O于点E.

(1)若D为AC的中点，证明：DE是00的切线；

⑵若OA=0CE,求ZACB的大小.

(1)证明 连接AE,由已知得丄BC, AC丄

在 Rt/\\AEC中，由己知得DE=DC,故ZDEC= ZDCE,连接

OE,

则 ZOBE=ZOEB.

又 ZACB+ZABC=90°, 所以 ZDEC+ Z OEB=90°, 故ZOED=90°, DE是00的切线.

(2)角军 设 CE=1, AE=xf 由已知得 AB=2百,BE=y] 12-x2. 由射影

定理可得AE2 = CE?BE, 所以 x2=y!12—x2,即 x4+x2—12 = 0. 可得x=芋,所以ZACB=60°.

5. 如图，已知AB是(DO的直径，直线仞与00相切于点C, AC 平

分ZDAB.

⑴求证：OC//AD；

(2)若 AD=2, AC=￡,求 AB 的长.

(1) 证明 VAO=CO, :.ZOAC=ZACOf VAC平分ZDAB, :.ZDAC=ZOAC, :.ZD4C= ZACO, :. OC//AD.

(2) 解???直线CD与相切于点C, A OC丄CD,由⑴知OC〃AD,

??.AD丄DC, 即 Z ADC=90%

连接BC, VAB是。O的直径，???ZACB=90。，

??? ZADC= ZACBf

B