a小学数学奥赛2-2-3 不定方程与不定方程组.教师版 下载本文

不定方程与不定方程组

教学目标

1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧

3.学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明 历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.

考点说明

在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

1、定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。

2、不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解;②有解时确定解的个数;③求出所有的解

三、不定方程的试值技巧

1、奇偶性

2、整除的特点(能被2、3、5等数字整除的特性) 3、余数性质的应用(和、差、积的性质及同余的性质)

例题精讲

模块一、利用整除性质解不定方程

【例 1】 求方程 2x-3y=8的整数解

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答

3【解析】 方法一:由原方程,易得 2x=8+3y,x=4+y,因此,对y的任意一个值,都有一个x与之对应,

2并且,此时x与y的值必定满足原方程,故这样的x与y是原方程的一组解,即原方程的解可表为:

3??x?4?k2,其中k为任意数.说明 由y取值的任意性,可知上述不定方程有无穷多组解. ???y?k方法二:根据奇偶性知道2x是偶数,8为偶数,所以若想2x-3y=8成立,y必为偶数,

当y=0,x=4;当y=2,x=7;当y=4,x=10……,本题有无穷多个解。

【答案】无穷多个解

【巩固】 求方程2x+6y=9的整数解

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为2x+6y=2(x+3y),所以,不论x和y取何整数,都有2|2x+6y,但2?9,因此,不论x和y

取什么整数,2x+6y都不可能等于9,即原方程无整数解. 说明:此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。

【答案】无整数解

【例 2】 求方程4x+10y=34的正整数解

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为4与10的最大公约数为2,而2|34,两边约去2后,得 2x+5y=17,5y的个位是0或5两种

情况,2x是偶数,要想和为17,5y的个位只能是5,y为奇数即可;2x的个位为2,所以x的取值为1、6、11、16……

x=1时,17-2x=15,y=3, x=6时,17-2x= 5,y=1, x=11时,17-2x=17 -22,无解

?x?1?x?6,?所以方程有两组整数解为:? y?3y?1???x?1?x?6,?【答案】? ?y?3?y?1

【巩固】 求方程3x+5y=12的整数解

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由3x+5y=12,3x是3的倍数,要想和为12(3的倍数),5y也为3的倍数,所以y为3的倍数即

可,所以y的取值为0、3、6、9、12…… y=0时,12-5y=12,x=4, x=3时,12-5y=12-15,无解

?x?4所以方程的解为:?

y?0??x?4【答案】?

y?0?

【巩固】 解不定方程:2x?9y?40(其中x,y均为正整数)

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一:2x是偶数,要想和为40(偶数),9y也为偶数,即y为偶数,也可以化简方程2x?9y?40,

x??x?11?x?240?9xy,? ?20?5y?知道y为偶数,所以方程解为:?y?2y?422???x?11?x?2,?【答案】? y?2y?4??

模块二、利用余数性质解不定方程

【例 3】 求不定方程7x?11y?1288的正整数解有多少组?

【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题无论x或是y,情况都较多,故不可能逐一试验.检验可知1288是7的倍数,所以11y也是7

的倍数,则y是7的倍数.

设y?7z,原方程可变为x?11z?184,z可以为1,2,3,……16.由于每一个z的值都确定了原方程的一组正整数解,所以原方程共有16组正整数解.

【答案】16组

【例 4】 求方程3x+5y=31的整数解

【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答

31?5y1?y【解析】 方法一:利用欧拉分离法,由原方程,得 x=,即 x=10-2y+,要使方程有整数解

331?y必须为整数. 31?y取y=2,得x=10-2y+=10-4+1=7,故x=7,y=2

31?y当y=5,得x=10-2y+=10-10+2=2,故x=2,y=5

31?y当y=8,得x=10-2y+=10-16+3无解

3?x?7?x?2,? 所以方程的解为:? y?2y?5??方法二:利用余数的性质

3x是3的倍数,和31除以3余1,所以5y除以3余1(2y除以3余1),根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为:

取y=1,2y=2,2÷3=0……2(舍) y=2,2y=4,4÷3=1……1(符合题意) y=3,2y=6,6÷3=2(舍) y=4,2y=8,8÷3=2……2(舍) y=5,2y=10,10÷3=3……1(符合题意) y=6,2y=12,12÷3=4(舍)

当y>6时,结果超过31,不符合题意。

?x?7?x?2,?所以方程的解为:? y?2y?5???x?7?x?2,?【答案】? y?2y?5??

【巩固】 解方程7x?4y?89,(其中x、y均为正整数)

【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一:7x?4y?89,4y是4的倍数,和89除以4余1,所以7x除以4余1(7÷4≡3),可以看成

3x除以4余1,根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为(x<13)

x=1,3x=3,3÷4≡3(舍) x=2,3x=6,6÷4≡2(舍)

x=3,3x=9,9÷4≡1(符合题意) x=4,3x=12,12÷4≡0(舍) x=5,3x=15,15÷4≡3(舍) x=6,3x=18,18÷4≡2(舍)

x=7,3x=21,21÷4≡1(符合题意) x=8,3x=24,24÷4≡0(舍) x=9,3x=27,27÷4≡3(舍) x=10,3x=30,30÷4≡2(舍)

x=11,3x=33,33÷4≡1(符合题意) x=12,3x=36,36÷4≡0(舍)