2019人教版精品教学资料·高中选修数学

课时跟踪检测（六） 组合的综合应用

层级一 学业水平达标

1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( ) A．C32C2197·3

5C．C5200－C197

223

B．C33C197＋C3C197 14 D．C5200－C3C197

3

解析：选B 至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共C23C197种，(2)3件次22332

品，2件正品，共C33C197种，由分类加法计数原理得抽法共有C3C197＋C3C197，故选B．

2．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )

A．2 C．4

B．3 D．5

3

解析：选A 设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－Cx＝16．即x(x－1)(x

－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2．∴x＝4，即女生有2人．

3．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( )

2A．C25C6种 222C．C25A2C6A2种

2

B．C25A6种 2 D．A25A6种

解析：选B 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名

22

女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C5A6种．

4．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有( ) A．120 C．240

B．5 D．180

4

解析：选C 先从5本中选出2本，有C25种选法，再与其他三本一起分给4人，有A4

种分法，故共有C2A45·4＝240种不同的分法．

5．(四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )

A．144个 C．96个

B．120个 D．72个

解析：选B 当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万

3

位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A4个偶数．故符合条件的偶数共有132A34＋C3A4＝120(个)．

6．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种．

2

解析：先分医生有A22种，再分护士有C4种(因为只要一个学校选2人，剩下的2人一2

定去另一学校)，故共有A22C4＝2×

4×3

＝12种． 2

答案：12

7．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．

解析：每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10种． 答案：10

8．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个．

解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C1C24·5

1

种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C2C5种方法．∴满4·2足条件的三角形共有C1C2C14·5＋C4·5＝70个．

答案：70

9．(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？ (2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？

解：(1)正方体8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体C48－12＝58个．

(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以

1其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C4＝48个．

10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减； (2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．

解：(1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C36种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C36＝20种．

(2)第一步从7人中选取6人，有C6第二步从6人中选2人排一列有C27种选法；6种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C24种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C6C2C27·6·4＝630种．

层级二 应试能力达标

1．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )

2

A．C28A3 2C．C28A6

6

B．C28A6 2 D．C28A5

解析：选C 从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以

22

选法种数是C8A6，故选C．

2．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( )

A．76 C．81

B．78 D．84

解析：选A 如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C39－8＝76．故选A．

3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( )

A．140种 C．35种

B．120种 D．34种

322

解析：选D 若选1男3女有C14C3＝4种；若选2男2女有C4C3＝18种；若选3男11

女有C34C3＝12种，所以共有4＋18＋12＝34种不同的选法．

4．编号为1,2,3,4,5的五个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为( )

A．120 C．110

B．119 D．109

5

解析：选D 5个人坐在5个座位上，共有不同坐法A5种，其中3个号码一致的坐法53

有C35种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A5－C5－1＝

109．

5．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法(用数字作答)．

解析：设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故

245为组合问题，总的放法为C7＋C37＋C7＋C7＝112．

答案：112

6．已知集合A＝{4}，B＝{1,2}，C＝{1,3,5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为________．

113

解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C11C2C3A3＝36，但集合B，C中有相同

元素1，由4,1,1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36－3＝33．

答案：33

7．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？

(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；

(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．

解：(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本，这件事分三步完成． 第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法； 第二步：从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C35种方法；

2第三步：把剩下的2本书给丙，有C2种方法．

根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法 C4C3C29·5·2＝1 260(种)．

所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1 260种． (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．

32第一步：按4本、3本、2本分成三组，有C49C5C2种方法； 3第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A3种方法．

根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法

323C49C5C2A3＝7 560(种)．

所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7 560种．

8．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9．将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：

(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有

1

C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C3种方法；又除含0的那张外，其他两张1112都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C4C2C3·2个．

3

(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C222·A3个． 4·33(3)0和1都不取，有不同的三位数C4·2·A33个．

综上所述，共有不同的三位数：

2233C1C1C122＋C4·2·A32·A34·2·3·3＋C4·3＝432(个)．

3法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C323·A3个，其中0在百位的有5·33222

C222·A22·A32·A2＝432(个)． 4·2个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C5·3－C4·