第8节 条件概率与事件的独立性、正态分布
最新考纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.
知 识 梳 理
1.条件概率及其性质
条件概率的定义 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生条件概率公式 P（A∩B）P(B|A)＝，其中P(A)>0，A∩B称P（A）的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，为事件A与B的交(或积) 用符号“P(B|A)”表示 2.事件的独立性
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件. (2)概率公式
条件 公式 A，B相互独立 A1，A2，…，An相互独立 P(A∩B)＝P(A)×P(B) P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An) 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cnp(1－p)
kkn－k(k＝0，1，2，…，n).
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cnpqkkn－k，其中k＝0，1，2，…，
n.于是X的分布列：
1
X P 0 Cnpq 00n11 Cnpqn－1… k Cnpqkkn－k… n Cnpq nn0 … … 此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 4.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝（x－μ）e－，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞). 2
2σ(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值
1σ
2π；
2
12π·σ
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ 1.运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立. 2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( ) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cnp(1－p) kkn－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( ) (4)从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取3次，则取到红球的个数X服从 2 超几何分布.( ) 解析 对于(1)，相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故(1)错；对于(2)，只有当A，B为相互独立事件时，公式P(AB)＝P(A)P(B)才成立；对于(4)，取到红球的个数X服从二项分布. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.(教材练习改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) 3A. 10 1B. 3 3C. 8 2D. 9 21 解析 设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝， 105 P(AB)＝ 2×31 ＝， 10×915 故P(B|A)＝答案 B P（AB）1 ＝. P（A）3 3.(2018·烟台调研)设袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为________. ?2??1?2?2?解析 由题意得取出红球个数X服从二项分布，即X～B?6，?，所以P(X＝2)＝C6??·??＝?3??3??3? 20 . 243答案 20 243 24 11 4.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为.假定二人的行动相互之间没 34有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________. 解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，两人均不去的概 ?1??1?1 率为P(A B)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝?1－??1－?＝，甲、乙二人至少有一人去 ?3??4?2 11 北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P(A B)＝1－＝. 221答案 2 5.已知随机变量X服从正态分布N(0，8)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________. 解析 因为μ＝0，所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 2 3 答案 0.954 考点一 条件概率 【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( ) 1A. 8 1B. 4 2C. 5 1D. 2 (2)(2018·河北“五个一”名校联盟二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开11 关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出25现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) 1 A. 10 1B. 5 2 2 2C. 5 2 1D. 2 C3＋C242C21 解析 (1)法一 P(A)＝2＝＝，P(AB)＝2＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝ C5105C5101 P（AB）101 ＝＝. P（A）24 5 法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(B|A)＝ n（AB）1 ＝. n（A）4 (2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意11 可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是 251P（AB）52 P(B|A)＝＝＝.故选C. P（A）15 2答案 (1)B (2)C 规律方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝ P（AB） ，这是求条件概率的通法. P（A） (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ n（AB） . n（A） 【训练1】 (2018·包头调研)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依 4