(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8节 条件概率与事 下载本文

第8节 条件概率与事件的独立性、正态分布

最新考纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念;2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题;3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义,并进行简单应用.

知 识 梳 理

1.条件概率及其性质

条件概率的定义 对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生条件概率公式 P(A∩B)P(B|A)=,其中P(A)>0,A∩B称P(A)的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,为事件A与B的交(或积) 用符号“P(B|A)”表示 2.事件的独立性

(1)相互独立的定义:事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即P(B|A)=P(B).这时,称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. (2)概率公式

条件 公式 A,B相互独立 A1,A2,…,An相互独立 P(A∩B)=P(A)×P(B) P(A1∩A2∩…∩An) =P(A1)×P(A2)×…×P(An) 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

①定义:在相同的条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n次独立重复试验.

②概率公式:在一次试验中事件A发生的概率为p,则n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=Cnp(1-p)

kkn-k(k=0,1,2,…,n).

(2)二项分布:在n次独立重复试验中,事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q=1-p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X=k)=Cnpqkkn-k,其中k=0,1,2,…,

n.于是X的分布列:

1

X P 0 Cnpq 00n11 Cnpqn-1… k Cnpqkkn-k… n Cnpq nn0 … … 此时称离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p). 4.正态分布

(1)正态曲线:正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线,其函数表达式为f(x)=(x-μ)e-,x∈R(其中μ,σ为参数,且σ>0,-∞<μ<+∞). 2

2σ(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1; ②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; ③曲线在x=μ处达到峰值

2π;

2

12π·σ

④当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ-σ

1.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有当事件A,B相互独立时,公式才成立.

2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( )

(2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Cnp(1-p)

kkn-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( ) (4)从装有3个红球,3个白球的盒中有放回地任取一球,连取3次,则取到红球的个数X服从

2

超几何分布.( )

解析 对于(1),相互独立事件的发生互不影响,而互斥事件是不能同时发生,故(1)错;对于(2),只有当A,B为相互独立事件时,公式P(AB)=P(A)P(B)才成立;对于(4),取到红球的个数X服从二项分布.

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2.(教材练习改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为( ) 3A. 10

1B. 3

3C. 8

2D. 9

21

解析 设“第一次拿到白球”为事件A,“第二次拿到红球”为事件B,依题意P(A)==,

105

P(AB)=

2×31

=, 10×915

故P(B|A)=答案 B

P(AB)1

=. P(A)3

3.(2018·烟台调研)设袋中有大小相同的4个红球和2个白球,若从中有放回地依次取出一个球,则6次取球中取出2个红球的概率为________.

?2??1?2?2?解析 由题意得取出红球个数X服从二项分布,即X~B?6,?,所以P(X=2)=C6??·??=?3??3??3?

20

. 243答案

20 243

24

11

4.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙去北京旅游的概率为.假定二人的行动相互之间没

34有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.

解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A,“乙去北京旅游”为事件B,两人均不去的概

?1??1?1

率为P(A B)=P(A)·P(B)=[1-P(A)][1-P(B)]=?1-??1-?=,甲、乙二人至少有一人去

?3??4?2

11

北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游,故所求概率为1-P(A B)=1-=. 221答案 2

5.已知随机变量X服从正态分布N(0,8),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=________. 解析 因为μ=0,所以P(X>2)=P(X<-2)=0.023,所以P(-2≤X≤2)=1-2×0.023=0.954.

2

3

答案 0.954

考点一 条件概率

【例1】 (1)(一题多解)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( ) 1A. 8

1B. 4

2C. 5

1D. 2

(2)(2018·河北“五个一”名校联盟二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开11

关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次闭合后出25现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) 1

A. 10

1B. 5

2

2

2C. 5

2

1D. 2

C3+C242C21

解析 (1)法一 P(A)=2==,P(AB)=2=.由条件概率计算公式,得P(B|A)=

C5105C5101

P(AB)101

==.

P(A)24

5

法二 事件A包括的基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形,即n(AB)=1. 故由古典概型概率P(B|A)=

n(AB)1

=. n(A)4

(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则由题意11

可得P(A)=,P(AB)=,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是

251P(AB)52

P(B|A)===.故选C.

P(A)15

2答案 (1)B (2)C

规律方法 (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=

P(AB)

,这是求条件概率的通法.

P(A)

(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=

n(AB)

. n(A)

【训练1】 (2018·包头调研)某盒中装有10只乒乓球,其中6只新球、4只旧球,不放回地依

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