函数之周期性与对称性的理解

首先请大家辨析一下这几个等式关系：

1）f(x)?f(?x?2)?02）f(x)?f(x?2)?03)f(x)?f（x?2)4)f(x)?f(?x?2)5）f(x)?f(?x?2)?26)f(x)?f(x?2)?2以上6个等式，其中1）、4）、5）是在讲对称性，2）、3）、6）是在讲述周期性。 在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析：

“同周期、异对称” 1）、4）、5）中x的系数相同，即为周期，2）、3）、6）中x的系数相异，即为对称，这样我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称。

那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点。

一、下面先讲对称问题的理解，以1）为例：

f(x)?f(?x?2)?0

?x?2?x2，我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的x?x1，则满足x1?x2?2，

即横坐标的和为2，那就意味着两个横坐标的中点为x?1。同样的，令f(x)?y1，

f(?x?2)?y2，则满足y1?y2?0，即这两个点的纵坐标和为零，那就意味着纵坐标互

为相反数。那么如果现在我换种方式描述，我说两个点(x1,y1)与(x2,y2)，满足x1?x2?2，

y1?y2?0，那我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。由图1

我们可以很直观的看出来这两个点关于（1,0）中心对称，这两个点都在y=f(x)上，从而整个

函数关于（1,0）中心对称。

同样的，我们分析4），x1?x2?2,y1?y2，在图像上表示对称关系如下：A、B两点关于

x=1轴对称，那么以后遇到对称性问题，我们只需在脑海里画两个点，这样函数的对称性就清晰了。

同理，我们来看一下6），x1?x2?2，y1?y2?2，在坐标系下表示两个点后，很容易理解这个函数关于（1,1）中心对称。

所以，我们f(x)?f(?x?2)?0与f(x?99)?f(?x?97)?0都是表示函数y=f(x)关于（1,0）中心对称，抓住核心本质，x1?x2?2，y1?y2?0。现在大家再回过头来看几个常见的对称性结论，是不是觉得清晰多了呢？

比如：函数f(x)满足f(x?a)?f(b?x)时，函数y?f(x)的图像关于直线

x?a?b对称； 2a?bc,)对称； 22函数f(x)满足f(x?a)?f(b?x)?c时，函数y?f(x)的图像关于点(

二、周期性

周期性的证明都是“退一步海阔天空”3）这种类型很直观，周期为2,2）、6）属于同一种类型，都是和定型，周期为4，具体证明大家自己尝试一下，常见的周期性模型也请大家自己去总结，这个一般的参考书上都有。重要的是它的证明，请大家自己多思考。

三、周期性与对称性结合

真正让周期和对称结合起来的三个结论很重要，在这里加以阐述 1. 如果函数y=f(x)同时关于（a,0）、（b,0）中心对称，那么这个函数的最小正周期为

T?2b?a

证明：函数关于（a,0）中心对称，则f(?x)?f(x?2a)?0，同理f(?x)?f(x?2b)?0，两式相减，得f(x?2a)?f(x?2b)，从而T?2b?a 下面请大家自行证明下面两个结论：

2. 如果函数y=f(x)同时关于x=a、x=b轴对称，那么这个函数的最小正周期为T?2b?a 3. 如果函数y=f(x)同时关于（a,0）中心对称，x=b轴对称，那么这个函数的最小正周期为

T?4b?a。

下面给两个练习让大家熟悉一下：

已知定义在R上的函数f(x)满足f(?x)??f(x)，f(3?x)?f(x)，则f(2019)?（ ) A．?3 B．0 C．1 D．3

定义在R上的奇函数f(x)，对于?x?R，都有f(33?x)?f(?x)，且满足f(4)??2，44f(2)?m?3，则实数m的取值范围是. m另外提供一个思考点：

对于函数y=f(x)，如果满足f(x?1)?f(?x?1),那么函数f（x）关于y轴对称

那么现在请问：y?f(x?1)与函数y?f(?x?1)关于什么对称呢？两者有什么区别？