§1 周期现象 2 角的概念的推广

学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示.

知识点一 周期现象

思考 “钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象，具有怎样的属性？ 答案 周而复始，重复出现.

梳理 (1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.

(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象. 知识点二 角的相关概念

思考1 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？ 答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.

思考2 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？

答案 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.

梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 正角 定义 按逆时针方向旋转形成的角 负角 零角 知识点三 象限角

思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？ 答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.

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图示 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 梳理 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 象限角：终边在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角. 知识点四 终边相同的角

思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？

答案 它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角和1个周角.

思考2 如何表示与60°终边相同的角？ 答案 60°＋k·360°(k∈Z). 梳理 终边相同角的表示

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋

k×360°，k∈Z}，

即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.

1.终边与始边重合的角是零角.( × ) 提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z). 2.小于90°的角是锐角.( × ) 提示 锐角是指大于0°且小于90°的角. 3.钝角是第二象限角.( √ ) 4.第二象限角是钝角.( × ) 提示 第二象限角不一定是钝角.

类型一 周期现象的应用

例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？ 考点 周期现象 题点 周期现象的应用

解 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，

2

所以1小时内水车转12圈.

又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升， 所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)， 所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).

反思与感悟 (1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的.

(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决. 跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？ 考点 周期现象 题点 周期现象的应用

解 设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)， 所以y＝·160＝32x，为使水车盛800升的水，

5则有32x≥800，所以x≥25， 即水车盛800升的水至少需要25分钟. 类型二 象限角的判定

例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 考点 象限角、轴线角 题点 象限角

解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.

(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.

反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.

(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.

跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角. ①549°；②－60°；③－503°36′.

α

(2)若α是第二象限角，试确定2α，是第几象限角.

2

3

x