“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．

一、有直角、有中点，连线出中线，用性质

例1．如图1，BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点， N是DE的中点．试问：MN与DE有什么关系？证明你的猜想．

猜想：MN垂直平分DE.

图1

证明：如图：连接ME、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=直线MN是线段DE的垂直平分线，∴NM⊥DE．即MN垂直平分DE.

1BC，又NE＝ND，∴2评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解．

二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质 例2．如图2，在Rt△ABC中，∠C=90，AD∥BC，∠CBE=求证：DE=2AB

分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与AB相等，

F

E B C

图2

0

1∠ABE， A 2D 1取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD，

2△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．

证明：DE的中点F，连AF，则AF=FD=又因为∠CBE=

1DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BC，所以∠CBE=∠ADF，21∠ABE，所以∠ABF=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB． 2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．

三、有中点、无直角，造直角，用性质

D 例3．如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N是AB、CD的中点， ∠ADC+∠BCD=270，

求证：MN=

0

P K N M 图3

C 1（AB-CD）． 20

A B

证明：延长AD、BC交于P，∵∠ADC+∠BCD=270，

∴∠APB=90，连结PN，连结PM交DC于K，下证N和K重合，则P、N、M三点共线， ∵PN、PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线，∴PN=CN=DN=

0

11CD，PM=BM=DM=AB， 22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A，∠PMB=∠PKC=2∠A，∴∠PNC=∠PKC，∴N、K重合， ∴MN=PM-PN=

1（AB-CD）． 20

评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=270 ”，这样问题就易以解决了

四、逆用性质解题

例4．如图4，延长矩形ABCD的边CB至E，使CE=CA， P是AE的中点．

求证：BP⊥DP．

证明：如图3，连结BD交AC于点O，连结PO， ∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=OB=OD，

∵PA=PE，∴PO=

P A D O 图4

C E B 11EC，∵EC=AC，∴PO=BD， 22即OP=OB=OD，∴BP⊥DP．

评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证BD边的中线等于BD的一半．

请同学们试一试吧！

1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥DE于D，DE交BC于E，

A 1求证：CD=BE．

22．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的 中点，求证：AB=2DM． A M· C B D

图6

1．提示：结论中的BE是直角三角形的斜边，由

D B

图5

E C 1BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一2半”，故应取BE的中点F，连结DF，只需证明DC=DF，即证∠C=∠DFC． 2．提示：取AB的中点N，连结DN、MN即可．

直角三角形斜边上中线性质的应用

直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用。

一、直角三角形斜边上中线的性质

1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=90?，D为1BC2BC的中点，则。

2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，

AD?所以

BD?DC?1BC2，

1BC2所以AD=BD=DC=，

所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠3=2∠4， ∠ADC=2∠1=2∠2。

因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、求值

例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．

解析：由性质可知：CD所以AB=2CD=8．

例2、（2006年上海市中考）已知：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边上的中点，BC=14，AD=12，

sinB?45。求tan?EDC的值。

?1AB2，

解析：由性质拓展可知：∠EDC=∠C。要求tan∠EDC的值，可转化为求tan∠C的值。 在Rt△ADB中，所以AB=15。 由勾股定理得：

BD?AB2?AD2?152?122?9，

sinB?AD4?AB5，

所以DC=BC－BD=5。

AD12?DC5， 在Rt△ADC中，tan∠C=

12所以tan∠EDC=5。

2、证明线段相等

例3、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D点，使点E、F分别为边BC、AC的中点。

（1）求证：DF=BE；

（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证：AG=DG。 分析：（1）因为E为BC的中点， 1BC所以BE=2。

AD?1AB2，

要证DF=BE，即为

1BC2连AE，AE=，只需证DF=AE。

因为EF为△ABC的中位线，

1//1?ABAB//AD。 所以EF2，而AD=2，所以EF?DF?1BC2，

故四边形AEFD为平行四边形。