《振动力学》——习题

第二章 单自由度系统的自由振动

2-1 如图2-1 所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物W2从高度为h处自由下落到W1上且无弹跳。试求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

x1 x12 x0 平衡位置 x

解：

W2h?

动量守恒：

1W22v2，v2?2gh 2gW2W2W?W22gh v2?1v12，v12?W1?W2gg

平衡位置：

W1 kW?W2W1?W2?kx12，x12?1

kW1?kx1，x1?

故：

x0?x12?x1?W2 k?n?

故：

kkg?

?W1?W2?gW1?W2?x0x??x0cos?nt? ??x0cos?nt?

?nv12sin?nt

?nsin?nt2-2 一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角

＝h 2F＝mg

由动量矩定理：

其中

2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求

其摆动的固有频率。

图2-3 图2-4

2-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况

系统作垂直振动的固有频率：

（1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；

（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

x1 l1 k1 m mg l1 l2 F2?l1mgl1?l2x l2 k2 F1?l2mgl1?l2x? x2

图 T 2-9

答案图 T 2-9

解：

（1）保持水平位置：?n?（2）微幅转动：

k1?k2 mx?x1?x?? ?F1?x2?x1?l1?k1l1?l2?l2mgl?l1l2?1??mg??l1?l2?k1l1?l2??l1?l2?k2?l1?l2?k1?lmgllk?lk ?2?1?1122mg

?l1?l2?k1l1?l2?l1?l2?k1k2l2k2?l1?l2??l12k1?l1l2k2 ?mg2?l1?l2?k1k22l12k1?l2k2 ?mg2?l1?l2?k1k2 故：

ke2?l1?l2?k1k2 ?2l12k1?l2k2?n?ke m2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为

m，A

端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？

图2-5 图2-6

2-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m=50kg，k1?9800Nm，

k2?k3?4900Nm，k4?19600Nm。试问：

（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？

｛｝ 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，试问： （1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？

k1 k2 m k3 k4

图 T 2-17

解：

k23?k2?k3?2kk123?k1234?（1）mg?k1234x0，x0?k1k232?k

k1?k233k123k41?kk123?k422mg k4mg k（2）x?t??x0cos?nt，xmax?2x0?2-7 图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。

图2-7

解：

系统动能为：

2??????11x111x????222??I????m2r?????T?m1x???2m2x22?R2?2??r???2????1?I3?2? ??m??m2? 12?x2?R22??2 ?系统动能为：

12?mex211?R1V?k2x2?k1?22??R21?R12?2 ??k2?k12?x?2?R2?? ?根据：

?x???2

1kex22?Tmax?Vmax，xmax??nxmax

R12k2?k12R22 ?n?I3m1?2?m2R222-8 如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼

系数及阻尼固有频率。

图2-8

a b ?c?a k?b l ??m?l

解：

???m?l?l?c?a?a?k?b?b?0 ???ml2??ca2??kb2??0

kb2bk ?n??2mllmca2ca2ca2m?2??n，?? ?2ml22ml?n2mlbkbkc2a4m12224?d??n1???1???4kmlb?ca 2222lm4mlbk2ml2