振动习题答案 下载本文

《振动力学》——习题

第二章 单自由度系统的自由振动

2-1 如图2-1 所示,重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置,另一重物W2从高度为h处自由下落到W1上且无弹跳。试求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

x1 x12 x0 平衡位置 x

解:

W2h?

动量守恒:

1W22v2,v2?2gh 2gW2W2W?W22gh v2?1v12,v12?W1?W2gg

平衡位置:

W1 kW?W2W1?W2?kx12,x12?1

kW1?kx1,x1?

故:

x0?x12?x1?W2 k?n?

故:

kkg?

?W1?W2?gW1?W2?x0x??x0cos?nt? ??x0cos?nt?

?nv12sin?nt

?nsin?nt2-2 一均质等直杆,长为l,重量为w,用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。

解:给杆一个微转角

=h 2F=mg

由动量矩定理:

其中

2-3 一半圆薄壁筒,平均半径为R, 置于粗糙平面上做微幅摆动,如图2-3所示。试求

其摆动的固有频率。

图2-3 图2-4

2-4 如图2-4 所示,一质量m连接在一刚性杆上,杆的质量忽略不计,试求下列情况

系统作垂直振动的固有频率:

(1)振动过程中杆被约束保持水平位置; (2)杆可以在铅垂平面内微幅转动;

(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高,并说明理由。

x1 l1 k1 m mg l1 l2 F2?l1mgl1?l2x l2 k2 F1?l2mgl1?l2x? x2

图 T 2-9

答案图 T 2-9

解:

(1)保持水平位置:?n?(2)微幅转动:

k1?k2 mx?x1?x?? ?F1?x2?x1?l1?k1l1?l2?l2mgl?l1l2?1??mg??l1?l2?k1l1?l2??l1?l2?k2?l1?l2?k1?lmgllk?lk ?2?1?1122mg

?l1?l2?k1l1?l2?l1?l2?k1k2l2k2?l1?l2??l12k1?l1l2k2 ?mg2?l1?l2?k1k22l12k1?l2k2 ?mg2?l1?l2?k1k2 故:

ke2?l1?l2?k1k2 ?2l12k1?l2k2?n?ke m2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为

m,A

端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高?

图2-5 图2-6

2-6 在图2-6所示的系统中,四个弹簧均未受力。已知m=50kg,k1?9800Nm,

k2?k3?4900Nm,k4?19600Nm。试问:

(1)若将支撑缓慢撤去,质量块将下落多少距离? (2)若将支撑突然撤去,质量块又将下落多少距离?

{} 图T 2-17所示的系统中,四个弹簧均未受力,k1= k2= k3= k4= k,试问: (1)若将支承缓慢撤去,质量块将下落多少距离? (2)若将支承突然撤去,质量块又将下落多少距离?

k1 k2 m k3 k4

图 T 2-17

解:

k23?k2?k3?2kk123?k1234?(1)mg?k1234x0,x0?k1k232?k

k1?k233k123k41?kk123?k422mg k4mg k(2)x?t??x0cos?nt,xmax?2x0?2-7 图2-7所示系统,质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的转动惯量为I,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。

图2-7

解:

系统动能为:

2??????11x111x????222??I????m2r?????T?m1x???2m2x22?R2?2??r???2????1?I3?2? ??m??m2? 12?x2?R22??2 ?系统动能为:

12?mex211?R1V?k2x2?k1?22??R21?R12?2 ??k2?k12?x?2?R2?? ?根据:

?x???2

1kex22?Tmax?Vmax,xmax??nxmax

R12k2?k12R22 ?n?I3m1?2?m2R222-8 如图2-8所示的系统中,钢杆质量不计,建立系统的运动微分方程,并求临界阻尼

系数及阻尼固有频率。

图2-8

a b ?c?a k?b l ??m?l

解:

???m?l?l?c?a?a?k?b?b?0 ???ml2??ca2??kb2??0

kb2bk ?n??2mllmca2ca2ca2m?2??n,?? ?2ml22ml?n2mlbkbkc2a4m12224?d??n1???1???4kmlb?ca 2222lm4mlbk2ml2