五、周期（循环）数列（扩展）的运用

对于数列{An}，如果存在一个常数T,对于任意整数n>N，使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立，则称数列{An}是从第n项起的周期为T的周期数列。

典型例题： 例1.数列?an?满足an?1＋－(1)nan＝2n－1，则?an?的前60项和为【 】 （A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830 【答案】D。

【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。

【解析】求出?an?的通项：由an?1＋－(1)nan＝2n－1得，

当n=1时，a2?1?a1；当n=2时，a3?3?a2=2?a1；当n=3时，a4?5?a3=7?a1；

当n=4时，a5?7?a4=a1；当n=5时，a6?9?a5=9?a1；当n=6时，a7?11?a6=2?a1； 当n=7时，a7?13?a6=15?a1；当n=8时，a8?15?a7=a1；······

=4m+2当n=4m+1时，当na4m?2?8m?1?a1；=4m+3时，当na4m?2?2?a1；时， a4m?4?8m?7?a1；

??????）当n=4m+4时，a4m?5?a1（m=0,1,2，。

∵a4m?a4m?5?a1，

∴{an}的四项之和为a4m?1?a4m?2?a4m?3?a4m?4=a1??8m?1?a1???2?a1???8m?7?a1?=16m?10??????）（m=0,1,2，。

??????）设bm?a4m?1?a4m?2?a4m?3?a4m?4=16m?10（m=0,1,2，。

则{an}的前60项和等于{bm}的前15项和，而{bm}是首项为10，公差为16的等差数列， ∴{an}的前60项和={bm}的前15项和=

?10??16?14?10??15?1830。故选D。

2例2.对于n?N，将n表示为n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21?a0?20,当i?k时ai?1，当

0?i?k?1时ai为0或1，定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数

时，bn=1；否则bn=0.

（1）b2+b4+b6+b8= ▲ .；

1

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 ▲ .. 【答案】（1）3；（2）2。 【考点】数列问题。

【解析】（1）观察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?1?21?0?20,a1?1,a0?0,b2?1；

依次类推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?22?0?21?0?20,b4?1；

5?1?22?0?21?1?20,b5?0；6?1?22?1?21?0?20，b6?0；b7?1,b8?1；

∴b2+b4+b6+b8=３。

（2）由（1）知cm的最大值为２。

例3.对于项数为m的有穷数列?an?，记bk?max?a1,a2,...,ak?（k?1,2,...,m），即bk为a1,a2,...,ak中的最大值，并称数列?bn?是?an?的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列?an?的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的?an?（4分）

m）（2）设?bn?是?an?的控制数列，满足ak?bm?k?1?C（C为常数，k?1,2,...,，求证：bk?ak（k?1,2,...,m）（6分）

?1?（3）设m?100，常数a??,1?，若an?an2?(?1)?2?n?n+1?2n，?bn?是?an?的控制数列，求

(b1?a1)?(b2?a2)?b(?a?...10010（08

)分）

【答案】解：（1）数列{an}为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。

（2）证明：∵bk?max{a1,a2,?,ak}，bk?1?max{a1,a2,?,ak,ak?1}，∴bk?1?bk。

∵ak?bm?k?1?C，ak?1?bm?k?C，∴ak?1?ak?bm?k?1?bm?k?0，即ak?1?ak。

∴bk?ak。

（3）对k?1,2,?,25，a4k?3?a(4k?3)2?(4k?3)；a4k?2?a(4k?2)2?(4k?2)； a4k?1?a(4k?1)2?(4k?1)；a4k?a(4k)2?(4k)。 比较大小，可得a4k?2?a4k?3。

2

∵

1?a?1， 2∴a4k?1?a4k?2?(a?1)(8k?3)?0，即a4k?2?a4k?1；

a4k?a4k?2?2(2a?1)(4k?1)?0，即a4k?a4k?2。

又∵a4k?1?a4k，∴b4k?3?a4k?3，b4k?2?a4k?2，b4k?1?a4k?2，b4k?a4k。 ∴(b1?a1)?(b2?a2)???(b100?a100)

=(b3?a3)?(b7?a7)?(b10?a10)???(b4k?1?a4k?1)???(b99?a99) =(a2?a3)?(a6?a7)?(a9?a10)???(a4k?2?a4k?1)???(a98?a99) =

?(ak?1254k?2(1?a)。 ?a4k?1)=(1?a)?(8k?3)=2525k?125【考点】数列的应用。

【解析】（1）根据题意，可得数列?an?。

（2）依题意可得bk?1?bk，又ak?bm?k?1?C，ak?1?bm?k?C，从而可得ak?1?ak?bm?k?1?bm?k?0，

整理即证得结论。

n?n+1?（3）根据an?an?(?1)22n，可发现，a4k?3?a(4k?3)2?(4k?3)；a4k?2?a(4k?2)2?(4k?2)；

a4k?1?a(4k?1)2?(4k?1)；a4k?a(4k)2?(4k)。通过比较大小，可得a4k?2?a4k?1，a4k?a4k?2，而

a4k?1?a4k?2?(a?1)(8k?3)，从而可求得(b1?a1)?(b2?a2)???(b100?a100)的值。

六、数列特征方程的应用：所谓数列的特征方程，实际上就是为研究相应的数列而引入的一些等式，常用的有以下几种形式：

1. 形如An?1?uAn?v的数列，一般是令x?ux?v，解出x?a，则?An?a?是公比为u的等比数列 。 2. 形如An?2?uAn?1?vAn的数列，一般是令x2?ux?v，解出x?x1,x2，则 ①当x1?x2时, An?ax1n?bx2n，其中a，b为待定系数，可根据初始值A1,A2求出； ②当x1=x2时，An?(an?b)x1n，其中a，b为待定系数，可根据初始值A1,A2求出。 3. 形如An?1?uAn?vux?v的数列，一般是令x?，解出x?x1,x2，则

rAn?trx?t 3

①当x1?x2时，典型例题： An?x11 为等比数列；②当x1=x2时，为等差数列。 An?x2An?x1例1.函数f(x)?x2?2x?3。定义数列?xn?如下：x1?2,xn?1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。

（1）证明：2?xn?xn?1?3； （2）求数列?xn?的通项公式。

【答案】解：（1）∵f(4)?42?8?3?5，∴点P(4,5)在函数f(x)的图像上。

∴由所给出的两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))，可知，直线PQn斜率一定存在。 ∴直线PQ?5n的直线方程为y?5?f(xn)x4(x?4)。

n?令y?0，可求得?5=xn2?2xn?8x?x?4?，解得x=4xn?3n?4x。

n?2∴x4xn?3n?1?x?2。

n下面用数学归纳法证明2?xn?3： 当n?1时，x1?2，满足2?x1?3，

假设n?k时，2?xk?3成立，则当n?k?1时，xxk?3k?1?4x?4?5x， k?2k?2由2?xk?3得，4?xk?2<5，即1<5x?5，∴1<11?4?5<3。 k?244xk?2∴2?xk?1?3也成立。

综上可知2?xn?3对任意正整数恒成立。 下面证明xn?xn?1：

∵xx4xn?34xn?3?x2n?2xn?(xn?1)2?4n?1?n?x?xn??， n?2xn?2xn?2 4

∴由2?xn?3得，1?xn?1<2。∴0

x?2xn?2解得x?3或x??1。 ∴xn?1?3=4x?35x?54xn?3x?3?3=n① ，xn?1?(?1)?n②。 ?1?nxn?2xn?2xn?2xn?2xn?1?31xn?3。 ??xn?1?15xn?1两式相除可得

而

x1?32?31??? x1?12?13?xn?3?11xn?311n?1?是以为首项以为公比的等比数列???()。 ?x?135xn?135?n?∴数列?9?5n?1?14?3?∴xn?。 n?1n?13?5?13?5?1【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。

【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明2?xn?3，运用差值法证明xn?xn?1，从而得证。

（2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。

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