x = 10±1， y = 1000±5 则

虽然比大四倍，但是程度比近似x的程度

比要小得多，这说明近似y的

要好得多。所以,除考虑误差的大小外，还应考虑准确值x本身的大小。为此我们引入相对误差：称

为近似值的相对误差, 记作。相对误差是个相对数, 是无量纲的, r 也可正可负。相对误差的

估计, 称为相对误差限, 即:

实际计算中, x是未知的, 用

3. 有效数字

来代替。两者的差为:

定义: 如果近似值的误差限是某一数位的半个单位, 从该位起向左到最前面第一个非零数字

共有n位, 就说有n位有效数字，它可表示

其中(i=1,…,n)是0到9中的一个数字，

,m为整数，且

例如 π=3.1415926535… ,

3.14有三位有效数字,误差限ε=0.005; 3.1416有五位有效数字, 误差限为0.00005。 又如

0.003529是四位有效数字, 误差限为

,

0.00352900是六位有效数字,前者的误差限为 。

定理1: 设近似值有n位有效数字,

则其相对误差限 . 反之，若近似值的相对误差限为

则至少有n位有效数字。

证明:因为：

故

所以

反之，由

故至少有n位有效数字。

本定理说明，有效数字越多，相对误差越小。 例1 重力加速度常数ｇ,

两者均有三位有效数字.

,

,

后者的绝对误差大。而由定理1, 相对误差分别为:

两者相等, 与量纲的选取无关。 例2 预使

解 设取n位有效数字，由于

=4.4…,

, 由定理1

的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字。

只要n=4, 就有

例3 用四位浮点数计算

。

解:

结果只有一位有效数字, 有效数字大量损失, 造成相对误差扩大。这是由两个比较接近的数 相减造成的。

结果仍然有四位有效数字这说明了算法设计的重要性。

第三节 数值计

算中误差的传播

1.四则运算中误差的传播 四则运算误差限的公式:

这是因为, 故

2.基本运算(对函数)中的误差估计

设数值计算中求得的解与参量x有关，记为 y=f(x), 即y是x的函数。设是x的近似值,相应的解(函数)的近似值 误差限记作

取绝对值得：

,

，如果f(x)是可微的, 则：

。其解的绝对误差

假定f'(x )与f\的比值不大, 可忽略ε() 的高阶项, 于是

其解的相对误差为 于是

和

有关,记为y=f( ,的近似值, 类似地有：

), 即

一般地，设数值计算中求得的解与参量y是多元函数,若

分别是

于是

例4 已侧得某场地长的值为=110m, 宽d的值为|≤0.2m, |d- 解 s=ld,

, 所以

=80m, 已知 |l-

|≤0.1m, 试求面积s=ld的绝对误差限和相对误差限。

3.算法的数值稳定性。

一个程序往往要进行大量的四则运算才能得出结果,每一步的运算均会产生舍入误差。在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则就称之为不稳定的算法。在大量计算中, 舍入误差的积累还是