309教育网 www.309edu.com

专题01 极值点的关系证明

极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值点

的关系，再

通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。 【题型示例】 1、已知函数

,其中为正实数．

(1)若函数(2)求函数(3)若函数【答案】 (1)

在处的切线斜率为，求的值；

的单调区间； 有两个极值点

，求证：

．

(2)单调减区间为(3)见解析 【解析】 (1)因为

, ,单调减区间为．

，所以，

则,所以的值为．

(2) ，函数的定义域为，

若若此时

,即,即

,则

,则

,此时的单调减区间为

, ,

;

的两根为,．

的单调减区间为

单调减区间为(3)由(2)知，当

时，函数

有两个极值点,且．

因为

309教育资源库 www.309edu.com

309教育网 www.309edu.com

要证,只需证．

构造函数，则，

在上单调递增,又,且在定义域上不间断,

由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．

则在上递减, 上递增,所以的最小值为．

因为,

当时, ,则,所以恒成立．

所以2、已知(1)若

时,

,所以。

在

，得证．

上为单调递增函数,求实数的取值范围.

(2)若【答案】 (1)

,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.

;

(2)【解析】

.

309教育资源库 www.309edu.com

309教育网 www.309edu.com

(1)当时, ,在上为单调递增函数,即

,只需满足即可,即.

(2),,∴,

令,时,,,无极值点,

时,令得:或,

由的定义域可知,且,

∴且,解得:,

∴,为的两个极值点,

即, ,且, ,得:

,

令, ,

②时,,∴,

309教育资源库 www.309edu.com