??180???(?c)?180?90?arctan(0.5?30)?arctan(0.02?30)?arctan(0.1?30)?44.4因为?＞0 所以闭环系统是稳定的
19.分析题38图所示RC微分电路的传递函数和单位斜坡响应。ui为输入电压，uo为输出电压，i为电流，R为电阻，C为电容。
???
题38图RC电路
1）求传递函数 该电路的动力学方程为：
ui?iR?由上消除中间变量i得
1idtC?ui?u0?1u0dt ?CRUo(s) CRsuo?iR
故取拉氏变换得
Ui(s)?Uo(s)?传递函数为
G(s)?式中，T?RC为时间常数。
2）求单位阶跃响应 由传递函数得
Uo(s)Ts?
Ui(s)Ts?1Uo(s)?对于斜坡输入
TsUo(s) Ts?1Ts1?2 Ts?1sUo(s)?所以
1??Tu0(t)?L?1[Uo(s)]?L?1????T?Te?t/T?Ts?1s?20.已知系统的开环传递函数为
(t?0)
G(s)?o
K(0.2s?1) 2s?0.02s?1?若要求系统的相位裕量为45，求K值。
这是一个最小相位系统。其幅频特性和相频特性分别为
A(?)?K?2?0.2??2?1 2?0.02???1?(?)?arctan(0.2?)?180??arctan(0.02?)
控制工程基础习题集及解答
由于系统的相位裕量为
??180???(?c)?45?
?(?c)?arctan(0.2?c)?180??arctan(0.02?c)???180??45?180??135???
解上式得?c1?6.39、?c2?38.61。将这两个系统的穿越频率幅频特性并令A(?c)＝1可得
A(?c)?K?c2?0.2?c?2?1?12?0.02?c??12K??c2?0.02?c??1?0.2?c?2?1
可解得K1＝25.367 K1＝241.9
21. 已知一调速系统的特征方程式为 S3?41.5S2?517S?2.3?104?0试用劳斯判据判别系统的稳定性，若不稳定请说明有几个根具有正实部。 列劳斯表
S3S2S1S0141.5?38.52.3?1045172.3?10400
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。
22．单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段折线如图39所示，要求系统具有30°的相位裕量，试计算开环增益应增大多少倍？
题39图
由系统的闭环对数幅频特性图可得系统的闭环传递函数
?(s)?11??1?s?1??s?1??1.25??5? 6.25?(s?1)(s?1.25)(s?5)?s?1???系统为单位反馈系统则其开环传递函数与闭环传递函数之间的关系为
控制工程基础习题集及解答
?(s)?解得
G(s)
1?G(s)G(s)??(s)?1??(s)0.511s(s?1)(s?1)2.8254.425
各环节的转折频率为：?1?2.825、?2?4.425 系统的开环幅频特性为
A(?)?0.5??由此可得系统的相位裕量
?1??1????1????1?2.825??4.425?22
??180???(?c) 11??180?90?arctan?c?arctan?c?302.8254.425??解得 ?c＝2.015
在满足??30（即?c＝2.015）条件时，设系统的开环幅频特性为
?G(s)?K0.511s(s?1)(s?1)2.8254.425
又因为?c＝2.015＜?1?2.825所以系统穿越频率?c在比例积分段内，故有
L1(?c)?20log0.5K?c＝0
解得 K＝4.03 即系统的开环增益应增大4.03倍。（3分）
23.已知系统的特征方程式为 S3?2S2?S?2?0，试判别相应系统的稳定性。 列劳斯表（7分）
S3S2S1S0120(?)212
由于表中第一列元素?上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。
24．一单位反馈系统的开环对数渐近线如题39图所示。 1)写出系统的开环传递函数；2)判断闭环系统的稳定性；
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题39图
1）求系统的传递函数
1s?1)0.2G(s)?11s(s?1)(s?1)0.14
K(由此可得系统的幅频特性为
A(?)????K???10.2??2??由于系统的穿越频率为?c＝1，故有
????????1???1?0.1??4?22
A(?c)????K?c??1?0.2?????????c??1?c??1?0.1??4?222?1
所以 K?2
系统的传递函数为：
1s?1)0.2G(s)?11s(s?1)(s?1)0.14
2?(2）判断系统的稳定性
由系统的幅频特性得系统的相位裕量为
??180???(?c)?180??90??arctan111?c?arctan?c?arctan?c?70.4?0.140.2
因为?＞0 所以闭环系统是稳定的。
25.液压阻尼器原理如题38图所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设xi为输入位移，xo为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数和系统的单位斜坡响应。
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