习题课 指数函数及其基本性质
基 础 过 关
1.已知xy≠0且4x2y2＝－2xy，则有( ) A.xy＜0
B.xy＞0
C.x＞0，y＞0
D.x＜0，y＜0
解析 ∵4x2y2＝（2xy）2＝2|xy|＝－2xy，∴xy＜0. 答案 A
2.指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝( ) A.2
B.－3
C.2或－3
1
D.－
2
解析 由于函数是指数函数，因而b＝1，又因为此函数在[1，2]上是单调函数，所以a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去). 答案 A
xax
3.函数y＝(a>1)的图象的大致形状是( )
|x|
x
?a，x>0，xax?
解析 因为y＝＝?x又a>1，所以选B.
|x|?－a，x<0，?
答案 B
1－4－20?1??－1?－4÷4.计算：0.25×2－?2??16?＝________. 1?－11?解析 原式＝×16－4÷1－?4?＝4－4－4＝－4.
4答案 －4 5.不等式2
2x－3
1?>??2?的解集是________.
7
解析 不等式变为2x－3>－7，得x>－2. 答案 (－2，＋∞)
3
－3－2
11??16?4. 6.计算：83×100－×?×?81?2?4?
3－42?－31??2??42－2－3－1326?解 原式＝(2)3×(10)－×(2)×??＝2×10×2×?3? 2??3??
2
1?3?3432
＝2××?2?＝. 105
11
7.已知函数f(x)＝x＋.
3－12
8
(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性.
解 (1)由3x－1≠0，得3x≠1，即x≠0，所以函数的定义域为{x∈R|x≠0}.
113x1
(2)因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，且f(－x)＝－x＋＝x＋＝23－121－33x＋13x＋1
＝－，
2（1－3x）2（3x－1）3x＋111而f(x)＝x＋＝，
3－122（3x－1）
所以f(－x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数. 1
8.设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值.
2解 令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.
111－
则y＝22x1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.又y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，
22211
∴y＝(t－3)2＋，t∈[1，3]上是减函数；t∈[3，4]上是增函数，
2215∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
2251
故函数的最大值为，最小值为.
22
能 力 提 升
x???1?－3，x≤0，
9.设函数f(x)＝??2?已知f(a)>1，则实数a的取值范围是( )
??x2，x>0，A.(－2，1) C.(1，＋∞)
a
B.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)
1?2
解析 当a≤0时，因为f(a)>1，所以?－3>1，解得a<－2；当a>0时，a>1，解得a>1，?2?故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 答案 B
10.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2(a＞0，且a≠1)，
－
若g(2)＝a，则f(2)等于( ) A.2
15B. 4
17C. 4
D.a2
解析 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴由 f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2，①
－
∴得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2，②
－
①＋②，得 g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－ax.
－
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2x，
－
15－
∴f(2)＝22－22＝. 4答案 B
11.若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则实数a的取值范围是________. 解析 依题意，2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0. 答案 [－1，0]
12.已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________. 解析 因为f(x)的图象过(0，－2)，(2，0)且a>1.
0
??－2＝a＋b，所以?，所以a＝3，b＝－3. 2
?0＝a＋b，?
所以f(x)＝(3)x－3，f(3)＝(3)3－3＝33－3. 答案 33－3
13.(2016·浙江湖州中学期中)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当x∈[－1，0]时，函1a
数的解析式为f(x)＝x－x(a∈R).
42(1)试求a的值；
(2)写出f(x)在[0，1]上的解析式； (3)求f(x)在[0，1]上的最大值；
解 (1)因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数， 所以f(0)＝1－a＝0，所以a＝1. (2)设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，