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机械优化设计复习题

一.单项选择题

1.一个多元函数F?X?在X* 附近偏导数连续,则该点位极小值点的充要条件为( )

A.?F?X*??0 B. ?F?X*??0,H?X*?为正定 C.H?X*??0 D. ?F?X*??0,H?X*?为负定

2.为克服复合形法容易产生退化的缺点,对于n维问题来说,复合形的顶点数K应( )

A. K?n?1 B. K?2n C. n?1?K?2n D. n?K?2n?1

23.目标函数F(x)=4x1+5x2,具有等式约束,其等式约束条件为h(x)=2x1+3x2-6=0,则目2标函数的极小值为( )

A.1 B. 19.05

C.0.25 D.0.1

4.对于目标函数F(X)=ax+b受约束于g(X)=c+x?0的最优化设计问题,用外点罚函数法求解时,其惩罚函数表达式Φ(X,M(k))为( )。

A. ax+b+M(k){min[0,c+x]}2,M(k)为递增正数序列 B. ax+b+M{min[0,c+x]},M为递减正数序列 C. ax+b+M(k){max[c+x,0]}2,M(k)为递增正数序列 D. ax+b+M{max[c+x,0]},M为递减正数序列

5.黄金分割法中,每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数,此常数是( )。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间[x1,x3]上为单峰函数,x2为区间中一点,x4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x4-x2>0,且F(x4)>F(x2),那么为求F(X)的极小值,x4点在下一次搜索区间内将作为( )。

A.x1 B.x3 C.x2 7.已知二元二次型函数F(X)=

12XAXT(k)

2

(k)

(k)

2

(k)

D.x4

2?

?,则该二次型是( )的。 4?

,其中A=?

?1?2

A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为( )。

A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列

9.多元函数F(X)在点X*附近的偏导数连续,?F(X*)=0且H(X*)正定,则该点为F(X)的

( )。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n维欧氏空间中凸集D上的具有连续二阶偏导数的函数,若H(X)正定,则称F(X)为定义在凸集D上的( )。

A.凸函数 B.凹函数 C.严格凸函数 D.严格凹函数

11.在单峰搜索区间[x1 x3] (x1

若x2>x4,并且其函数值F(x4)

12.用变尺度法求一n元正定二次函数的极小点,理论上需进行一维搜索的次数最多为( )

A. n次 B. 2n次 C. n+1次 D. 2次 13.在下列特性中,梯度法不具有的是( )。 A.二次收剑性 B.要计算一阶偏导数

C.对初始点的要求不高 D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 14.外点罚函数法的罚因子为( )。

A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 15.内点惩罚函数法的特点是( )。

A.能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中

C.初始点可以在可行域外 D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外

q16.约束极值点的库恩—塔克条件为?F(X)=???i?1i?gi(X),当约束条件gi(X)≤

0(i=1,2,?,m)和λi≥0时,则q应为 ( )。

A.等式约束数目; B.不等式约束数目; C.起作用的等式约束数目 D.起作用的不等式约束数目

2217 已知函数F(X)=-2x1?2x1x2?x2?2x1,判断其驻点(1,1)是( )。

A.最小点 B.极小点 C.极大点 D.不可确定 18.对于极小化F(X),而受限于约束gμ(X)≤0(μ=1,2,?,m)的优化问题,其内点罚函数表

达式为( )

mmu A. Ф(X, r)=F(X)-r

(k)(k)

?1/gu?1m(X) B. Ф(X, r)=F(X)+r

(k)(k)

?1/gu?1mu(X)

C. Ф(X, r)=F(X)-r

(k)(k)

?max[0,gu?1u(X)] D. Ф(X, r)=F(X)-r

(k)(k)

?min[0,gu?1u(X)]

19. 在无约束优化方法中,只利用目标函数值构成的搜索方法是( )

A. 梯度法 B. Powell法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法

20. 利用0.618法在搜索区间[a,b]内确定两点a1=0.382,b1=0.618,由此可知区间[a,b]的值是( )

A. [0,0.382] B. [0.382,1] C. [0.618,1] D. [0,1] 21. 已知函数F(X)=x12+x22-3x1x2+x1-2x2+1,则其Hessian矩阵是( ) A. ??2??3?3??2??2?33??2??2?11??2???3?22???3? B. ? C. ? D. ?

22. 对于求minF(X)受约束于gi(x)≤0(i=1,2,?,m)的约束优化设计问题,当取λi≥0时,则约束极值点的库恩—塔克条件为( )

mA. ?F(X)=?i?1?i?gi(X),其中λi为拉格朗日乘子

mB. ??F (X)= ?i?1q?i?gi(X),其中λi为拉格朗日乘子

C. ?F(X)= ?i?1q?i?gi(X),其中λi为拉格朗日乘子,q为该设计点X处的约束面数

D. ??F(X)= ?i?1?i?gi(X),其中λi为拉格朗日乘子,q为该设计点X处的约束面数

23. 在共轭梯度法中,新构造的共轭方向S(k+1)为( ) A. S(k+1)= ?F(X(k+1))+β(k)S(K),其中β(k)为共轭系数 B. S=?F(X)-βS,其中β为共轭系数 C. S(k+1)=-?F(X(k+1))+β(k)S(K),其中β(k)为共轭系数 D. S(k+1)=-?F(X(k+1))-β(k)S(K),其中β(k)为共轭系数

24. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b受约束于g(X)=c-x≥0的约束优化设计问题,其惩罚函数表达式为( ) A. ax+b-r(k)B. ax+b-r(k)

1c-x1c-x1c-x1c-x(k+1)

(k+1)

(k)(K)

(k)

,r(k)为递增正数序列 ,r(k)为递减正数序列 ,r(k)为递增正数序列

C. ax+b+ r(k)D. ax+b+r(k)

,r(k)为递减正数序列

??1??的最大变化率为( ) 1??25. 已知F(X)=x1x2+2x22+4,则F(X)在点X(0)=?A. 10 B. 4 C. 2 D. 10

26.在复合形法中,若映射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数δ仍不能使映射点可行或优于坏点,则可用( )

A.好点代替坏点 B.次坏点代替坏点 C.映射点代替坏点 D.形心点代替坏点 27. 优化设计的维数是指( )

A. 设计变量的个数 B. 可选优化方法数

C. 所提目标函数数 D. 所提约束条件数

28.在matlab软件使用中,如已知x=0:10,则x有______个元素。

A. 10 B. 11 C. 9 D. 12 29.如果目标函数的导数求解困难时,适宜选择的优化方法是( )。

A. 梯度法 B. Powell法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法

30.在0.618法迭代运算的过程中,迭代区间不断缩小,其区间缩小率在迭代的过程中( )。 A.逐步变小 B 不变 C 逐步变大 D 不确定

二 填空

1.在一般的非线性规划问题中,kuhn-tucker点虽是约束的极值点,但 是全域的最优点。 2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式。 3.当有两个设计变量时,目标函数与设计变量关系是 中一个曲面。 4.函数在不同的点的最大变化率是 。 5.函数f?x??x1?x2?4x1?4,在点X22?1???3??2?处的梯度为 。 T6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 。

7.多元函数F(x)在点x*处的梯度▽F(x*)=0是极值存在的 条件。

28.函数F(x)=3x1+x2-2x1x2+2在点(1,0)处的梯度为 。 29.阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 。

10.用二次插值法缩小区间时,如果x2?xp,f2?fp,则新的区间(a,b)应取作 , 用

以判断是否达到计算精度的准则是 。

11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近,内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近。

12.罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法。 13.Powell法是以 方向作为搜索方向。

14.当有n个设计变量时,目标函数与n个设计变量间呈 维空间超曲面关系。

三 问答题

1. 变尺度法的基本思想是什么? 2. 梯度法的基本原理和特点是什么?

3.什么是库恩-塔克条件?其几何意义是什么?

4. 在内点罚函数法中,初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响?

5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素?

6. 满足什么条件的方向是可行方向?满足什么条件的方向是下降方向?作图表示。 7. 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系。

8. 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用。 9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点

10.为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果?

11.多目标问题的解与单目标问题的解有何不同?如何将多目标问题转化为单目标问题求

解? 12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么?为何要这样选点?

四.计算题

1.用外点法求解此数学模型

??min????F?X??x? ??s.t.????g?x??1?x?02 将f?x??2x1?6x2?2x1x2?2x1?3x2?3写成标准二次函数矩阵的形式。

22minf?X??????x1?x223 用外点法求解此数学模型 :s.t.g1?Xg2?X22x1?x2?0

?x1?04 求出f?x??2x1?6x1?2x2?4x2?20的极值及极值点。

minf?X???x1?1?313?x25 用外点法求解此数学模型 :s.t.g1?X???x1?1?0g2?X

??x2?06.用内点法求下列问题的最优解:

minf(x)?x1?xs?tg1?3?x2222?2x1?1?0

(提示:可构造惩罚函数 ?(x,r)?f(x)?r?ln?g(x)?,然后用解析法求解。)。

?7.设已知在二维空间中的点x??x?g???1x?,并已知该点的适时约束的梯度

1?,试用简化方法确定一个适用

?1?,目标函数的梯度?f???0.5的可行方向。

8. 用梯度法求下列无约束优化问题:Min F(X)=x12+4x22,设初始点取为X(0)=[2 2]T,以梯

度模为终止迭代准则,其收敛精度为5。

9. 对边长为3m的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?建立该问题的优化设计的数学模型。 10. 已知约束优化问题:

minf(x)?4x?xs?tg(x)?xg(x)??xg(x)??x?x?0?03?为复合形的初始顶点,用复合形法进

?12?25?0

试以x??21?,x??41?,x??3行一次迭代计算。