课下层级训练(十八) 三角函数的图象与性质
[A级 基础强化训练]
1．(2019·黑龙江哈尔滨检测)函数y＝|tan(2x＋φ)|的最小正周期是( ) A．2π π
C．
2
π
C [结合图象及周期公式知T＝.]
22．下列函数中，最小正周期是π且在区间?A．y＝sin 2x C．y＝tan
2
B．π πD．
4
?π，π?上是增函数的是( )
?
?2?
B．y＝sin x D．y＝cos 2x
x?π?D [y＝sin 2x在区间?，π?上的单调性是先减后增；y＝sin x的最小正周期是T＝
?2?
2πxπ
＝2π；y＝tan 的最小正周期是T＝＝2π；y＝cos 2x满足条件. ] ω2ωπ???π?3．函数f(x)＝sin?2x－?在区间?0，?上的最小值为( )
4?2???A．－1
2
2
B．－
2 2
C．D．0
π?π3π??π?B [由已知x∈?0，?，得2x－∈?－，?，
2?4?4?4?π??2??所以sin?2x－?∈?－，1?， 4??2??
π?2??π?故函数f(x)＝sin?2x－?在区间?0，?上的最小值为－.]
4?2?2??4．(2019·陕西榆林质检)若函数f(x)＝sin ( )
π
A． 23πC． 2
C [由f(x)＝sin
2πB．
35πD．
3
x＋φ3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝
x＋φ3φπ3π
是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，
322
1
又φ∈[0,2π]，所以φ＝
3π.] 2
π??5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)?|φ|
?π?A．?－，0?
?3??π?C．?，0? ?6?
?π?B．?－，0?
?6??π?D．?，0? ?12?
π??B [函数f(x)＝2sin(2x＋φ)?|φ|
3ππ
，又|φ|<，∴φ＝， 223
π?π?则f(x)＝2sin?2x＋?，令2x＋＝kπ(k∈Z)，
3?3?则x＝
kππ
π
－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－， 266
?π?∴?－，0?是函数f(x)的图象的一个对称中心．] ?6?
6．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是__________.
?kπ＋π， kπ＋3π?(k∈Z) [由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x,2kπ＋π≤2x≤2kπ?44?2??
3ππ3π
＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．] 244
π??2
7．(2019·福建福州质检)函数y＝cosx＋sin x?|x|≤?的最小值为__________.
4??1－2π22??
[令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈?－，?. 242??2
?1?252
∴y＝－t＋t＋1＝－?t－?＋，
?2?4
∴当t＝－
21－2时，ymin＝.] 22
π??8．(2019·辽宁抚顺月考)若函数f(x)＝3cos?ωx－?(1<ω<14)的图象关于直线x＝
4??π
对称，则ω＝__________. 12
π?πππ?3 [∵f(x)＝3cos?ωx－?(1<ω<14)的图象关于直线x＝对称，∴ω－＝kπ，4?12124?
k∈Z，即ω＝12k＋3，k∈Z.∵1<ω<14，∴ω＝3.]
2
π?π??2?9．(2019·山西晋中联考)设函数f(x)＝cos?2x－?＋2sin?x＋?. 3?2???(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
?ππ?(2)当x∈?－， ?时，求f(x)的值域．
4??3
13
解 (1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1－cos(2x＋π)
22π?33?＝cos 2x＋sin 2x＋1＝3sin?2x＋?＋1，
3?22?所以f(x)的最小正周期T＝π. ππ
由2x＋＝kπ＋，k∈Z，
32得对称轴方程为x＝
kππ
2
＋，k∈Z.
12
ππππ5π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
34336
?1?所以f(x)的值域为?－，3＋1?.
?2?
[B级 能力提升训练]
π
10．函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值是( )
4πA． 4πC． 6
πB．
3πD．
2
πππ
A [由题意可知，＋φ＝kπ，k∈Z，故φ＝kπ－，k∈Z.当k＝0时，φ＝－，
444π
此时|φ|＝为最小值 .]
4
?ππ?11．(2019·广东广州质检)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间?－，?上的最?34?
小值是－2，则ω的最小值等于( )
2A． 3C．2
3B． 2D．3
ππωπωπ
B [∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤. 3434由已知条件知－
ωπ
πωπ3π33
≤－或≥，∴ω≥.∴ω的最小值为.] 324222
3
?ππ?12．设函数f(x)＝3sin?x＋?，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有
4??2
f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为__________.
2 [f(x)＝3sin?
?πx＋π?的周期T＝2π×2＝4，
4?π?2?
Tf(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为＝2.] 2
13．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题： ①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2； ②f(x)的最小正周期是2π；
?ππ?③f(x)在区间?－，?上是增函数； ?44?
④f(x)的图象关于直线x＝
3π
对称． 4
其中真命题的是__________.
1π
③④ [ f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是
22ππ?ππ???－， －， ?，假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈?时，2x∈?4?2??4??2故③是真命题；因为f?是真命题．]
2π??14．(2019·黑龙江大庆月考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?0<φ
3??为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
3??π
(2)若f(x)的图象过点?， ?，求f(x)的单调递增区间．
2??62π
解 ∵f(x)的最小正周期为π，即T＝＝π，∴ω＝2，
?3π?＝1sin 3π＝－1，故f(x)的图象关于直线x＝3π对称，故④
?224?4?2
ω∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
π
(1)当f(x)为偶函数时，有φ＝＋kπ，k∈Z，
22ππ
∵0<φ<，∴φ＝.
32
4