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第三章空间向量与立体几何

一、坐标运算

a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?则a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?

?a???x1,?y1,?z1?a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?二、共线向量定理

充要对于a,bb?0,ab??????使a=?b.??三、共面向量定理

充要若a与b不共线，则p与a,b共面?????x,y使p?xa?yb.

充要条件四、对空间任意一点O，若OP?xOA?yOB,则P,A,B三点共线?????x?y?1.

五、对空间异于P、A、B、C四点的任意一点O，若OP?xOA?yOB?zOC,若P、A、B、C四点充要????x?y?z?1.证明：①必要性P、A、B、C四点共面，?AP?xAB?yAC，

②充分性x?y?z?1,?OP?OA?xOB?OA?yOC?OA，?OP??1?y?z?OA?yOB?zOC，?OP?xOB?yOC??1?x?y?OA，令1?x?y?z,?x?y?z?1.?????OP?OA?yOB?OA?zOC?OA，?AP?yAB?zAC,?A、B、C、P四点共面.

????六、空间向量基本定理

若a,b,c不共面，对于任意p，?x,y,z使p=xa+yb+zc，称a,b,c做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.??七、立体几何中的向量方法

设平面?和?的法向量为n1和n2,直线l1和l2的方向向量为v1,v2.

①n1?v1?l1l2或l1??②若n1v1?l1??③l1l2?v1v2④l1?l2?v1?v2⑤???n1n2⑥????n1?n2八、角、距离

?1?异面直线的夹角?，

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则cos??cosAB,CD?AB?CDAB?CD

?2?线与面的夹角?,

则sin??cos??a?na?n

?3?二面角?,

则cos??cos??n1?n2n1?n2

说明：?只能由已知图观察锐钝. ?4?点到平面的距离d,

则d?PA?cos??PA?nn

说明：由图可知d为在方向上的投影的绝对值，PA?n?PA?n?cos??d?PA?cos??PA?nn

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