→2→2→2→2→2→2
13．已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA＋BC＝OB＋CA＝OC＋AB，则O一定是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
→→→→→→→
14. 如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，→→→→→→
且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求实数λ、μ的值．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
章末复习课 答案
作业设计
1．B [a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，
∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选B.]
2
2．A [(λa＋b)·a＝0，∴λa＋a·b＝0. ∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选A.] 3．A [由题意D是BC边的中点，
→→→所以有OB＋OC＝2OD，
→→→→→→→→→→→所以2OA＋OB＋OC＝2OA＋2OD＝2(OA＋OD)＝0?OA＋OD＝0?AO＝OD.]
→→→→→→→→→
4．D [AC＝AB＋AD＝(1,2)，BD＝AD－AB＝(－3,2)，解得AD＝(－1,2)，∴AD·AC＝(－1,2)·(1,2)＝3.故选D.]
??a·a???a·a?·(a·b)＝0，∴〈a，c〉＝π.] 5．D [∵a·c＝a·?a－?b?＝a·a－???2??a·b???a·b?
→→→→→→→→24
6．A [易知P为△ABC的重心，则PB＋PC＝－PA＝AP，故AP·(PB＋PC)＝AP＝，故选A.]
9
7．2x＋y－7＝0
→
解析 设直线上任一点P(x，y)，则AP＝(x－2，y－3)． →
由AP·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0. 8．1
解析 b在a上的投影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1. 9．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线， ∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2. 10.10
2
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β1
＝.又∵|β|＝2， 2∴|2α＋β|＝
2α＋β2
＝4α＋4α·β＋β＝
221
4＋4×＋4＝10.
2
→→→
11．解 ∵AB＝(1,3)，AC＝(2,4)，AD＝(－3,5)， →→
BD＝(－4,2)，CD＝(－5,1)， →→→
∴AD＋BD＋CD＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． 根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m，n使得 →→→→→AD＋BD＋CD＝mAB＋nAC，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)． ?－12＝m＋2n，?∴?，得m＝32，n＝－22. ?8＝3m＋4n.?
→→→→→∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.
1
12．解 (1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，
3
2m化简得(m－1)a＝(－t)b，
33
∵a与b不共线，
2??3m－1＝0∴?m??3－t＝03m＝，??2∴?1
t＝??2.
，
11
∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．
23
2222222
(2)|a－tb|＝(a－tb)＝|a|＋t|b|－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t－t)|a|.
13
∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.
22→2→2→2→2→2→→2→2→→2→→→→
13．C [由OA＋BC＝OB＋CA，得OA＋(OC－OB)＝OB＋(OA－OC)，得OC·OB＝OA·OC.∴→→
OC·AB＝0，O在边AB的高线上．同理O在边AC的高线上，即O为△ABC的垂心．故选C.] 14．解 方法一
过点C分别作平行于OB的直线CE交直线OA于点E，平行于OA的直线CF交直线OB于点F.如图所示．
→|OC|23→
在Rt△OCE中，|OE|＝＝＝4；
cos 30°3
23→→
|CE|＝|OC|·tan 30°＝23×＝2，
3
→→→→→
由平行四边形法则知，OC＝OE＋OF＝4OA＋2OB， ∴λ＝4，μ＝2. 方法二
→
如图所示，以OA所在直线为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立直角坐标系．设B点在x轴的射影为B′，C点在x轴的射影为C′.
3
易知，OC′＝23cos 30°＝3，CC′＝OCsin 30°＝3，BB′＝OBsin 60°＝，
2
1
OB′＝OBcos 60°＝，
2