基本不等式及其应用
1．基本不等式
a＋b
若a>0,，b>0，则2≥ab，当且仅当 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)ab?a?b?a,b?0? 2
a?b≥ab它们成立的条件不同，前者只要求a、2a?b2
b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（）.
2
注：不等式a2＋b2≥2ab和
?a?b?(3)ab≤?? (a，b∈R)．
2??ba
(4)a＋b≥2(a，b同号且不为0)．
222
?a?b?a＋b(5)???2(a，b∈R). ?2?2a2?b2a?b2?a,b?0? ??ab?（6）
1122?aba3＋b3＋c3
;?a,b,c?0? (7)abc≤3a＋b＋c3
(8)3≥abc；?a,b,c?0?
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ .
(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ；
1
或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .
设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A.6 B.42 C.22
D.26
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，
3
当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) 1
A.2 B.1 C.2 D.4
1
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤2.当且仅当a1
＝1，b＝2时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A.a＜v＜ab
B.v＝ab
a＋ba＋bC.ab＜v＜2 D.v＝2 解：设甲、乙两地之间的距离为s.
2s2ab2ab
∵a＜b，∴v＝ss＝＜＝ab.
a＋b2aba＋b
ab－a2a2－a22ab
又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.故选A.
a＋ba＋ba＋b
(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________. 24
解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋x2≥22，当且仅当x＝±2时等号成立.故填22.
点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.
解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1， ?m＋n?21
?＝， 所以mn≤?
4?2?1
当且仅当m＝n＝2时取等号，
1
∴log2m＋log2n＝log2mn≤log24＝－2，故填－2.
2
类型一 利用基本不等式求最值 （x＋5）（x＋2）
(1)求函数y＝(x＞－1)的值域.
x＋1解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝4
＝m＋m＋5≥2
(2)下列不等式一定成立的是( )
1?1?
A.lg?x2＋4?>lgx(x>0) B.sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
sinx??C.x＋1≥2|x|(x∈R) D.
2
（m＋4）（m＋1）
m
4
m·m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.
又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).
1
>1(x∈R) x2＋1
111
解：A中，x2＋4≥x(x＞0)，当x＝2时，x2＋4＝x. 1
B中，sinx＋sinx≥2(sinx∈(0，1])； 1
sinx＋sinx≤－2(sinx∈[－1，0)). C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R). D中， 点拨：
ax2＋bx＋c
这里(1)是形如f(x)＝的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将
x＋df(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋
e
＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性x＋d
1
∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C. x2＋1
等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.
t2－4t＋1
(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为 .
t
3