第4讲 定积分的概念与微积分基本定理
一、选择题
1．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t，则此物体达到最高时的高度为( )． A.C.160
m 340
m 3
2
2
80
B. m 320D. m 3
2
解析 v＝40－10t＝0，t＝2，?2(40－10t)dt＝
?0
?40t－10t3??2＝40×2－10×8＝160???0
3??33?
(m)． 答案 A
2．已知f(x)＝2－|x|，则?2－1f(x)dx等于
?
9
D. 2
( )．
A．3 B．4
7C. 2
??2－x?x≥0?，
解析 f(x)＝2－|x|＝?
??2＋x?x<0?，
x?2x－x??2＝3＋2＝7. 2x＋??0∴?2－1f(x)dx＝?0－1(2＋x)dx＋?(2－x)dx＝?－1＋2??2??02?2????
20
2
2
答案 C
3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示， 则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为
( )．
4B. 3
8D. 3
1A. 3C．2
解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与
??2a×?－1?＋b＝0，??a＝1，
(0,2)，则有?∴?∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成
?2a×0＋b＝2，???b＝2.
11324－x3－x2??0的封闭图形的面积为S＝?0－2(－x2－2x)dx＝?－2＝×(－2)＋(－2)＝. ?3??33?
答案 B
1?i?2*2
4．已知a＝? ??，n∈N，b＝?1xdx，则a，b的大小关系是( )．
ni＝1
n?n?
?0
A．a>b C．a
B．a＝b D．不确定
14－x①?dx；②?2－2x dx；③?2dx；
??x?π
e1
0
2
π
④∫0
2cos 2xdx，积分值等于1的个数是( )．
x－sin xA．1 B．2 C．3 D．4 解析 ①
2
1??dx＝ln x?e1＝1，
e?1x?
②
2
12?2
－2xdx＝x－2＝0， ?2???
2
③?
?0
4－x112
dx＝(π2)＝1， ππ4
cos 2x1π
dx＝∫0(cos x＋sin x)dx
cos x－sin x22
π
④∫0
22
1π
＝(sin x－cos)|0＝1. 22答案 C
6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝x围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是
( )．
1A. 2
1B. 6
1C. 4
1D. 3
解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于?1(x－x2)dx
?0
2313??111
x－x0＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D. ＝??323??33答案 D 二、填空题
7．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为______．
解析 由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，W＝∫0100xdx＝0.18(J)． 答案 0.18 J
1
8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．
0.06
x3
答案 －ln 2
2
??2x＋1，x∈[－2，2]，40
9．已知f(x)＝?若?3f(x)dx＝(k<2)．则k＝________. 23??k?1＋x，x∈[2，4]
40
解析 ?3f(x)dx＝?2(2x＋1)dx＋?3(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.
3???
k
k
2
答案 0或－1
1
mx＋?12展开式中各项的10．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且?2f(－x)dx＝m，则?6??
?1
系数和为________．
解析 因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以?2f(－x)dx＝?2(x2
?1?1
12?251?1251?12?1??mx＋－x)dx＝x3－2x?＝＝m所以展开式中各项的系数和为6???16??6＋6?＝1. ?3答案 1 三、解答题
17f?x?
11．已知f(x)是一次函数，且?1f(x)dx＝5，?1xf(x)dx＝，求?2dx的值．
6???x
0
0
1
解 ∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)． 121
ax＋bx??∴?1f(x)dx＝?1(ax＋b)dx＝?＝??2??02a＋b. ??
0
0
1
1
∴a＋b＝5.① 2
又?1xf(x)dx＝?1x(ax＋b)dx
?0?0