【步步高】高考数学第一轮知识点巩固题库 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理(含解析)新人教A版 下载本文

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

一、选择题

1.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40-10t,则此物体达到最高时的高度为( ). A.C.160

m 340

m 3

2

2

80

B. m 320D. m 3

2

解析 v=40-10t=0,t=2,?2(40-10t)dt=

?0

?40t-10t3??2=40×2-10×8=160???0

3??33?

(m). 答案 A

2.已知f(x)=2-|x|,则?2-1f(x)dx等于

?

9

D. 2

( ).

A.3 B.4

7C. 2

??2-x?x≥0?,

解析 f(x)=2-|x|=?

??2+x?x<0?,

x?2x-x??2=3+2=7. 2x+??0∴?2-1f(x)dx=?0-1(2+x)dx+?(2-x)dx=?-1+2??2??02?2????

20

2

2

答案 C

3.函数f(x)满足f(0)=0,其导函数f′(x)的图象如图所示, 则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

( ).

4B. 3

8D. 3

1A. 3C.2

解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数,且对称轴为x=-1,开口方向向上.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),由f(0)=0,得c=0.f′(x)=2ax+b,因过点(-1,0)与

??2a×?-1?+b=0,??a=1,

(0,2),则有?∴?∴f(x)=x2+2x,则f(x)的图象与x轴所围成

?2a×0+b=2,???b=2.

11324-x3-x2??0的封闭图形的面积为S=?0-2(-x2-2x)dx=?-2=×(-2)+(-2)=. ?3??33?

答案 B

1?i?2*2

4.已知a=? ??,n∈N,b=?1xdx,则a,b的大小关系是( ).

ni=1

n?n?

?0

A.a>b C.a

B.a=b D.不确定

14-x①?dx;②?2-2x dx;③?2dx;

??x?π

e1

0

2

π

④∫0

2cos 2xdx,积分值等于1的个数是( ).

x-sin xA.1 B.2 C.3 D.4 解析 ①

2

1??dx=ln x?e1=1,

e?1x?

2

12?2

-2xdx=x-2=0, ?2???

2

③?

?0

4-x112

dx=(π2)=1, ππ4

cos 2x1π

dx=∫0(cos x+sin x)dx

cos x-sin x22

π

④∫0

22

=(sin x-cos)|0=1. 22答案 C

6.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是

( ).

1A. 2

1B. 6

1C. 4

1D. 3

解析 依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于?1(x-x2)dx

?0

2313??111

x-x0=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D. =??323??33答案 D 二、填空题

7.如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm,则力所做的功为______.

解析 由F(x)=kx,得k=100,F(x)=100x,W=∫0100xdx=0.18(J). 答案 0.18 J

1

8.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形的面积为____________.

0.06

x3

答案 -ln 2

2

??2x+1,x∈[-2,2],40

9.已知f(x)=?若?3f(x)dx=(k<2).则k=________. 23??k?1+x,x∈[2,4]

40

解析 ?3f(x)dx=?2(2x+1)dx+?3(1+x2)dx=,所以得到k2+k=0,即k=0或k=-1.

3???

k

k

2

答案 0或-1

1

mx+?12展开式中各项的10.设f(x)=xn+ax的导函数为f′(x)=2x+1且?2f(-x)dx=m,则?6??

?1

系数和为________.

解析 因为f(x)=xn+ax的导函数为f′(x)=2x+1.故n=2,a=1.所以?2f(-x)dx=?2(x2

?1?1

12?251?1251?12?1??mx+-x)dx=x3-2x?==m所以展开式中各项的系数和为6???16??6+6?=1. ?3答案 1 三、解答题

17f?x?

11.已知f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx=,求?2dx的值.

6???x

0

0

1

解 ∵f(x)是一次函数,∴可设f(x)=ax+b(a≠0). 121

ax+bx??∴?1f(x)dx=?1(ax+b)dx=?=??2??02a+b. ??

0

0

1

1

∴a+b=5.① 2

又?1xf(x)dx=?1x(ax+b)dx

?0?0