^`
B．
15
8
7
C． 15
2D． 5 18．袋中装有 4 个黑球和 1 个白球，每次从袋中随机的摸出一个球，并换入一个黑球，继续进行，求第三次摸到黑球的概率是（D ）
A． 125B． 125C．
16
17
125 109D． 125
108
19．市场供应的热水瓶中，甲厂的产品占 50% ，乙厂的产品占 30% ，丙厂的产品占 20% ，甲厂产品的合格率为 90% ，乙厂产品的合格率为 85% ，丙厂产品的合格率为 80% ,从市场上任意买一个热水瓶，则买到合格品的概率为（D ）
A．0.725 B．0.5 C．0.825 D．0.865
20．设连续型随机变量 X 的密度函数为 p(x ) ???
?Ax 2 ,0 ? x ? 1
，则 A 的值为：
?0,else
（C ）
A．1 B． 2 C． 3 D．1
第二部分 计算题
6
^`
1．某厂生产某产品，每批生产 x 台得费用为 C(x) ? 5x ? 200 ，得到的收入为
R(x) ? 10x ? 0.01x2 ，求利润.
解：利润=收入-费用= R(x) ? C(x) ? 10x ? 0.01x2 ? 5x ? 200 ? 5x ? 0.01x2 ? 200
注：此题只要求求利润，有同学求了边际利润、或最大利润，这并不算错。
22．求 lim 1? 3x ?1 .
x2 x?0
3x2
2解： lim 1? 3x ?1 ? lim ? lim 3 ? 3
x?0
x2
2
x?02 x ( 1? 3x2 ?1)
x?0
3．设 lim
x??1
x ? ax ? 3 ? 2 ，求常数 a . x ?1
1
? 3x2 ?1
2
解：
x2 ? 2x ?1? (a ? 2)x ? 2 ?
x ?1 x??1 x ?1 x??1
lim x ?1? (a ? 2)x ? 2 ? lim (a ? 2)x ? 2 ? 2
x ?1 x??1 x ?1 x??1
故 a ? 2 ? 2, a ? 4
lim x2 ? ax ? 3 ? lim
4．若 y ? cos2 x ，求导数 解：
dydx .
dydx ? 2cos x *(? sin x) ??? sin 2x
5．设 y ? f (ln x) ? e f ( x) ，其中 f (x) 为可导函数，求 y? .
'f(x) f (ln x) e
解： y' ? ? f (ln x)e f ( x) f ' (x)
x
6．求不定积分 ? x2 dx .
1 1 解： ? x2 dx ??? x ? c
7
1
7．求不定积分 ? x ln(1? x)dx . 解：
^`
? x ln(1? x)dx ? 12 ?ln(1? x)dx2?
?
1?
?
2 x2 ln(1? x) ?
12 ?1
x2
?xdx?
11xxx? x2 ln(1? x) ? ? 2 ? ? dx?
221? x??
11?
2 x2 ln(1? x) ?
112 ? x ? 1? xdx?
dx?
x
? x2 ln(1? x) ? ? x ?
x?1?1
221? x??
?
11?
2 x2 ln(1? x) ?
12 ? x ?1? 1? xdx?
1
2 x2 ln(1? x) ?
1211 x ? x ? 422 ln |1? x | ?c?
8．设 ?b ln xdx ? 1，求 b.
1 b
解： ?ln xdx ? (x ln x ? x) |1b ? b ln b ? b ?1 ? 1 ? b ? e
1
9．求不定积分 ??x?dx?.
?
1
1 e
解：设 ex ? t,则x ? ln t, dx ?
1t dt
?
? 1?1ex dx ? ? t(11? t)dt ? ?(1t ? 1?1 t )dt?
? ln | t | ? ln |1? t | ? c ? x ? ln(1? ex ) ? c?
10．设 f (x) ? 2x2 ? x ?1， A ? ?
? 1 1?
?
，求矩阵 A 的多项式 f ( A) .
?? 1?
0
? 1 2 ? ? 1 1?
2解： A ? ? ? ? A ??? ?
1 ?
? 1 2 ???? 1 1???? 1 0 ???? 2 3 ?
2f ( A) ? 2 A ? A ? E ? 2 ? ????? ????? ? ??? ?
? 0 1?
? 0
? 0 1 ???? 0 1???? 0 1 ???? 0 2 ?
? 2 ?16
,x?4
在 (??,??) 连续,试确定 a 的值. 11．设函数 f (x) ??? x ? 4
? ? a , x ? 4
8
^`
解： x ? 4 时， lim f (x) ? lim
x?4
x2 ?16 ? lim x ? 4 ? 8 x ? 4 x?4 x?4
x?4
由于 f (x) 在 (??,??) 上连续，所以 lim f (x) ? f (4) ? a 所以 a ? 8
12．求抛物线 y2 ? 2x 与直线 y ? x ? 4 所围成的平面图形的面积.
解：抛物线 y2 ? 2x 与直线 y ? x ? 4 相交于两点，分别为 (2, ?2),(8, 4)
所围成的平面图形的面积为：
S?
?2 y2
??
2
1dxdy
4 y?4
? ?4 ( y ? 4 ? 2 )dy
?2 2 1y( y2 ? 4 y ? 3 ) |4?? 26 ?2?? 18?
y
3? ?1 1 3?
? ? ?
1 1? , B ? ?1 1 13．设矩阵 A ? ?1 2? ，求 AB .
? ? ? ?
0
? ?1 1? ?0 1 1?
?2 6 3???1 1 3? ? 8 11 21? ? ??? ? ? ?
2 3 6 ? 解： AB ? ?1 1 1???1 1 2? ???
? ??? ? ? ?
?2
?
6
?1 1???0 1 1? ??1 0 ?1?
AB =8*（-3）-11*（-2+6）+21*(0+3)=-24-44+63=-5
?0
14．设 A ? ?
?1 2 ?
解： AB ? ?
? 3 ? ? 2 ? ?1 2 ??1 0 ???? 3 4 ?
? ?? ???? ?
1
?
?1
1
0 ?
, B ? ?? ,求 AB 与 BA .
?1
BA ? ?
?1 3
??0 ??1 ?? 2??
1 2??????2 ????1
???? ?
3 6?? 2 ? ?
?1
1
3 ???? 3 8 ?
9
^`
15．设 A ? ?
? 1 0 ?
?1 1 ?
? 2 ?1
?
?
解： ( A : E) ? ? ?1 1 1 0 1 0
1 1?
? ?1 ? ，求逆矩阵 A .
?
1
?
? 2 ?1 1 0 0 1
?
1 0 1 1 0 0 ???? 1 0 1 1 0 0 ?
? ? ?
2 1 1 0 ? ? : ? 0 1
? ? ?
???? 0 ?1 ?1 ?2 0 1 ?
? 1 0 1 1 0 0 ???? 1 0 0 2 ?1 ?1? ? ? ? ?
0 1 2 1 1 0 ? : ? 0 1 0 3 ?1 ?2 ? : ?
? ? ? ? ? 0 0 1 ?1 1 1 ???? 0 0 1 ?1 1 1 ? ? 2 ?1 ?1?
? ? ?1
??A ? 3 ?1 ?2 ?
? ?
? ?1 1 1 ?
16．甲、乙二人依次从装有 7 个白球，3 个红球的袋中随机地摸 1 个球，求甲、乙摸到不同颜色球的概率.
解：甲先摸到白球，随后乙摸到红球的概率 P1 ? 10 * 9 ? 30
737
甲先摸到红球，随后乙摸到白球的概率 P2 ? 10 *
377
9 ? 30
甲、
乙摸到不同颜色球的概率 P ?
7 7 7 ? ? 30 30 15
第三部分 应用题
1． 某煤矿每班产煤量 y （千吨）与每班的作业人数 x 的函数关系是
y ? 2 (3 ? ) （ 0 ? x ? 36 ），求生产条件不变的情况下，每班多少人时产
xx
25 12
煤量最高？
解： y ? 2 (3 ? ) （ 0 ? x ? 36 ），
25 12
2y' ? 2 x(3 ? x ) ? x (? 1 )
xx
25 12 25 x ? (24 ? x)
100
12
当 x ? 0或24 时 y' ? 0
10