2018年青岛市中考数学试题含答案解析 下载本文

学会构建方程或函数解决问题,属于中考常考题型.

23.(10分)问题提出:用若干相同的一个单位长度的细直木棒,按照如图1方式搭建一个长方体框架,探究所用木棒条数的规律.

问题探究:

我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法. 探究一

用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架(m、n是正整数),需要木棒的条数. 如图①,当m=1,n=1时,横放木棒为1×(1+1)条,纵放木棒为(1+1)×1条,共需4条;

如图②,当m=2,n=1时,横放木棒为2×(1+1)条,纵放木棒为(2+1)×1条,共需7条;

如图③,当m=2,n=2时,横放木棒为2×(2+1))条,纵放木棒为(2+1)×2条,共需12条;如图④,当m=3,n=1时,横放木棒为3×(1+1)条,纵放木棒为(3+1)×1条,共需10条;

如图⑤,当m=3,n=2时,横放木棒为3×(2+1)条,纵放木棒为(3+1)×2条,共需17条.

问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒 22 条.

问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为 m(n+1) 条, 纵放的木棒为 n(m+1) 条. 探究二

用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架(m、n、s是正整数),需要木

棒的条数.

如图⑥,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(1+1)=34条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×1=12条,共需46条;

如图⑦,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(2+1)=51条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×2=24条,共需75条;

如图⑧,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(3+1)=68条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×3=36条,共需104条.

问题(三):当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为 [m(n+1)+n(m+1)](s+1) 条,竖放木棒条数为 (m+1)(n+1)s 条.

实际应用:现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个长方体框架的横长是 4 .

拓展应用:若按照如图2方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒 1320 条.

【分析】从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题;

【解答】解:问题(一):当m=4,n=2时,横放木棒为4×(2+1)条,纵放木棒为(4+1)×2条,共需22条;

问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为 m(n+1)条,纵放的木棒为n(m+1)条;

问题(三):当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为[m(n+1)+n(m+1)](s+1)条,竖放木棒条数为(m+1)(n+1)s条.

实际应用:这个长方体框架的横长是 s,则:[3m+2(m+1)]×5+(m+1)×3×4=170,解得m=4,

拓展应用:若按照如图2方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,横放与纵放木棒条数之和为165×6=990条,竖放木棒条数为60×5=330条需要木棒1320条. 故答案为22,m(n+1),n(m+1),[m(n+1)+n(m+1)](s+1),(m+1)(n+1)s,4,1320;

【点评】本题考查规律型﹣图形变化类问题,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想解决问题,属于中考填空题中的压轴题.

24.(12分)已知:如图,四边形ABCD,AB∥DC,CB⊥AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,动点P从点D开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发,以QA、QP为边作平行四边形AQPE,设运动的时间为t(s),0<t<5.

根据题意解答下列问题: (1)用含t的代数式表示AP;

(2)设四边形CPQB的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)当QP⊥BD时,求t的值;

(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点E在∠ABD的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

【分析】(1)如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形,利用勾股定理求出AD的长即可解决问题;

(2)作PN⊥AB于N.连接PB,根据S=S△PQB+S△BCP,计算即可;

(3)当PQ⊥BD时,∠PQN+∠DBA=90°,∠QPN+∠PQN=90°,推出∠QPN=∠DBA,推出tan∠QPN=

=,由此构建方程即可解解题问题;

(4)存在.连接BE交DH于K,作KM⊥BD于M.当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM,推出KH=KM,BH=BM=8,设KH=KM=x,在Rt△DKM中,(6﹣x)2=22+x2,解得x=,作EF⊥AB于F,则△AEF≌△QPN,推出EF=PN=(10﹣2t),AF=QN=(10﹣2t)﹣2t,推出BF=16﹣[(10﹣2t)﹣2t],由KH∥EF,可得

=

,由此构建方程即可解决问题;

【解答】解:(1)如图作DH⊥AB于H,则四边形DHBC是矩形, ∴CD=BH=8,DH=BC=6,

∴AH=AB﹣BH=8,AD=由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t.

=10,BD==10,

(2)作PN⊥AB于N.连接PB.在Rt△APN中,PA=10﹣2t, ∴PN=PA?sin∠DAH=(10﹣2t),AN=PA?cos∠DAH=(10﹣2t), ∴BN=16﹣AN=16﹣(10﹣2t),

S=S△PQB+S△BCP=?(16﹣2t)?(10﹣2t)+×6×[16﹣(10﹣2t)]=t2﹣12t+78

(3)当PQ⊥BD时,∠PQN+∠DBA=90°, ∵∠QPN+∠PQN=90°, ∴∠QPN=∠DBA, ∴tan∠QPN=

=,

∴=,

解得t=,

是分式方程的解,

经检验:t=∴当t=

s时,PQ⊥BD.

(4)存在.

理由:连接BE交DH于K,作KM⊥BD于M. 当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM, ∴KH=KM,BH=BM=8,设KH=KM=x, 在Rt△DKM中,(6﹣x)2=22+x2, 解得x=,

作EF⊥AB于F,则△AEF≌△QPN,

∴EF=PN=(10﹣2t),AF=QN=(10﹣2t)﹣2t, ∴BF=16﹣[(10﹣2t)﹣2t], ∵KH∥EF, ∴

=

∴=,

解得:t=经检验:t=∴当t=

是分式方程的解,

s时,点E在∠ABD的平分线.

【点评】本题考查四边形综合题,解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形或全等三角形解决问题,学会理由参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.