个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途

26.5特征值与特征向量矩阵的简单应用

【知识网络】

1、矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；

2、会求二阶方阵的特征值与特征向量<只要求特征值是两个不同实数的情形）；

3、了解三阶或高阶矩阵； 4、矩阵的应用。 【典型例题】

例1：<1）、已知

，且

，则n的值是< ）

A．3 B．－3 C．±3 D．不存在

答案：C。解读： <2

( >b5E2RGbCAP A、

B、

C、

D、。

）

，解得n=±3。

=

答案：C。解读：

<3）设某校午餐有A、B两种便当选择，经统计数据显示，今天订A便当的人，隔天再订A便当的机率是；订B便当的人，隔天再订B便当的机率为，已知星期一有40%的同学订了A便当，60%

个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途

的同学订了B便当，则星期四时订A便当同学的比率为 <）p1EanqFDPw A、

B、

C、

，则M3

D、

。

答案：D。解读：设M=

<4）矩阵的特征值是。

答案：-4或2。解读：矩阵M的特征值满足方程

=(-1> (+3>-(->(-2>=2+2-8=0

解得，矩阵M的两个特征值1=-4，2=2。 <5）一实验室培养两种菌，令时间点n的数量，彼此有如下的关系二阶矩阵A=，答，案

满足

A

，<其中n=0,1,2…），则

和

分别代表两种培养菌在

，若，

。DXDiTa9E3d ：

8

，

24

，

0

，，

8

。

解

读

：

故得。

例2：根据下列条件试判断M 是否与 共线 ⑴M=

，非零向量 =

=

⑵ M==3

， =

答案：⑴ M=

个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 所以M与共线。 ⑵ M=共线。

例3：求矩阵M=

的特征值和特征向量

=

而

与

不共线。 即此时M与不

答案：矩阵M的特征值满足方程

=(+1> (-3>-(->(-2>=2-2-8=0

解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2 ⑴设属于特征值1=4的特征向量为

，则它满足方程：

(1+1>x+(-2>y=0 即：<4+1）x+(-2>y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取

为属于特征值1=4的一个特征向量

，则它满足方程：

⑵设属于特征值1=-2的特征向量为(2+1>x+(-2>y=0

即：<-2+1）x+(-2>y=0 也就是 x+2y=0 则可取

为属于特征值2=-2的一个特征向量

有两个特征值1=4，2=-2，

，属于2=-2的一个特征向量

综上所述：M=

属于1=4的一个特征向量为为

。

例4：已知：矩阵M=，向量 = 求M3