第一章极限和连续 第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列

定义按一定顺序排列的无穷多个数

称为无穷数列，简称数列，记作{xn}，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如 （1）1，3，5，?，（2n-1），?（等差数列） （2）（3）

（等比数列） （递增数列）

（4）1，0，1，0，?，?（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为

（2n-1）,。 对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应，所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3?一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。

在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,?。

2.数列的极限

定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作 比如：

无限的趋向0

，无限的趋向1

否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，?，（2n-1），? 1，0，1，0，?

数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。 比如：

无限的趋向0 无限的趋向1

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（二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质

定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。

注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，?有界：0，1 2.数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件： （1）

，

（2）， 则

定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5

（1）（2）（3）当

时，

（三）函数极限的概念

1.当x→x0时函数f（x）的极限 （1）当x→x0时f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→x0时）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左极限

当x→x0时f（x）的左极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作

或f（x0-0）=A

（3）右极限

当x→x0时，f（x）的右极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作 或f（x0+0）=A

例子：分段函数

，求

，

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解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有

当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有

显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系： 定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

反之，如果左、右极限都等于A，则必有

x→1时f(x)→? x≠1

x→1f(x)→2

对于函数

，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。

。

2.当x→∞时，函数f（x）的极限 （1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+

→1

x→∞f(x)=1+

定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→∞时）

（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作

这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？

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x→+∞，f(x)=2+→2

-x

例：函数f（x）=2+e，当x→+∞时，f（x）→？ 解：f（x）=2+e=2+x→+∞，f（x）=2+

-x

， →2

所以

（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作

x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+

→2

例：函数，当x→-∞时，f（x）→？ 解：当x→-∞时，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。 例如函数

，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限

的极限是1，记作

地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时

其几何意义如图3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

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