但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 （四）函数极限的定理 定理1.7（惟一性定理）如果定理1.8（两面夹定理）设函数（1）

，（2）

存在，则极限值必定惟一。

在点

的某个邻域内（

可除外）满足条件：

则有。

注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果（1）（2）

则

（3）当时，时，

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论： （1）（2）

（3）

用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。 另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。 （五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小） 定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作

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常用希腊字母，?来表示无穷小量。

定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是：

可表示为A与一个无穷小量之和。

注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。

（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。 （3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。 例如：

振荡型发散

就越变越小，但它

。

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，不是无穷小量。

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为2.无穷大量（简称无穷大） 定义；如果当自变量

（或∞）时，

则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。

注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。 定理1.11在同一变化过程中，如果无穷小量，且当

，则无穷大 无穷小 为无穷小

为无穷大量，则

的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），

或

。

为无穷小量；反之，如果为

为无穷大量。

当

无穷大

4.无穷小量的基本性质

性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较 定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。

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（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果

则称则称则称则称

是比较高阶的无穷小量，记作与

为同阶的无穷小量； 为等价无穷小量，记为

；

；

与

是比较低价的无穷小量。当

等价无穷小量代换定理： 如果当时

，

均为无穷小量，又有

且

存在，则

。

均为无穷小

又有

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有：

当时，

sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ

重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式

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令

这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。 其结构式为：

2.重要极限Ⅱ

重要极限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为 e=2.718281828495045?? 其结构式为：

重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。 （七）求极限的方法：

1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限； 3.利用无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。 基本极限公式

（2）

（3）（4）

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