成人高考(专升本)高等数学成考笔记 下载本文

但是对函数y=arctanx来讲,因为有

即虽然当x→-∞时,f(x)的极限存在,当x→+∞时,f(x)的极限也存在,但这两个极限不相同,我们只能说,当x→∞时,y=arctanx的极限不存在。 x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲,因为有

即虽然当x→-∞时,f(x)的极限存在,当x→+∞时,f(x)的极限也存在,但这两个极限不相同,我们只能说,当x→∞时,y=arctanx的极限不存在。 (四)函数极限的定理 定理1.7(惟一性定理)如果定理1.8(两面夹定理)设函数(1)

,(2)

存在,则极限值必定惟一。

在点

的某个邻域内(

可除外)满足条件:

则有。

注意:上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果(1)(2)

(3)当时,时,

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形,有以下推论: (1)(2)

(3)

用极限的运算法则求极限时,必须注意:这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在,且求商的极限时,还要求分母的极限不能为零。 另外,上述极限的运算法则对于的情形也都成立。 (五)无穷小量和无穷大量 1.无穷小量(简称无穷小) 定义对于函数,如果自变量x在某个变化过程中,函数的极限为零,则称在该变化过程中,为无穷小量,一般记作

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常用希腊字母,?来表示无穷小量。

定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是:

可表示为A与一个无穷小量之和。

注意:(1)无穷小量是变量,它不是表示量的大小,而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。

(2)要把无穷小量与很小的数严格区分开,一个很小的数,无论它多么小也不是无穷小量。 (3)一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中,同一个变量可以有不同的变化趋势,因此结论也不尽相同。 例如:

振荡型发散

就越变越小,但它

(4)越变越小的变量也不一定是无穷小量,例如当x越变越大时,不是无穷小量。

(5)无穷小量不是一个常数,但数“0”是无穷小量中惟一的一个数,这是因为2.无穷大量(简称无穷大) 定义;如果当自变量

(或∞)时,

则称在该变化过程中,为无穷大量。记作。

注意:无穷大(∞)不是一个数值,“∞”是一个记号,绝不能写成3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系,见以下的定理。 定理1.11在同一变化过程中,如果无穷小量,且当

,则无穷大 无穷小 为无穷小

为无穷大量,则

的绝对值可以变得充分大(也即无限地增大),

为无穷小量;反之,如果为

为无穷大量。

无穷大

4.无穷小量的基本性质

性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;

性质2有界函数(变量)与无穷小量的乘积是无穷小量;特别地,常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较 定义设是同一变化过程中的无穷小量,即。

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(1)如果(2)如果(3)如果(4)如果

则称则称则称则称

是比较高阶的无穷小量,记作与

为同阶的无穷小量; 为等价无穷小量,记为

是比较低价的无穷小量。当

等价无穷小量代换定理: 如果当时

均为无穷小量,又有

存在,则

均为无穷小

又有

这个性质常常使用在极限运算中,它能起到简化运算的作用。但是必须注意:等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有:

当时,

sinx~x;tan~x;arctanx~x;arcsinx~x;

(六)两个重要极限 1.重要极限Ⅰ

重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式

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这个公式很重要,应用它可以计算三角函数的型的极限问题。 其结构式为:

2.重要极限Ⅱ

重要极限Ⅱ是指下面的公式:

其中e是个常数(银行家常数),叫自然对数的底,它的值为 e=2.718281828495045?? 其结构式为:

重要极限Ⅰ是属于型的未定型式,重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时,这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用,熟练掌握它们是非常必要的。 (七)求极限的方法:

1.利用极限的四则运算法则求极限; 2.利用两个重要极限求极限; 3.利用无穷小量的性质求极限; 4.利用函数的连续性求极限;

5.利用洛必达法则求未定式的极限; 6.利用等价无穷小代换定理求极限。 基本极限公式

(2)

(3)(4)

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