定义2设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即

定义3设函数y=f（x），如果

，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果

，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f（x）

在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右连续。 2.函数在区间[a，b]上连续

x

定义如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。 这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：

，在右端点b连续，是指满

足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。 可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。 3.函数的间断点

定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。 由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x0处有下列三种情况之一： （1）在点x0处，f（x）没有定义； （2）在点x0处，f（x）的极限不存在； （3）虽然在点x0处f（x）有定义，且，

则点x0是f（x）一个间断点。

，则f（x）在

A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续 C.x=0处间断，x=1处连续 D.x=0处连续，x=1处间断 解：x=0处，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0） x=0为f（x）的间断点 x=1处，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）

∴f（x）在x=1处连续 ［答案］C [9703]设

A.0 B. C. D.2 分析：f（0）=k

，在x=0处连续，则k等于

存在，但

［答案］B

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例3[0209]设

0

解：f（0）=e=1

在x=0处连续，则a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0） ∴a=1 ［答案］1

（二）函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则 （1）f（x）±g（x）在x0处连续 （2）f（x）·g（x）在x0处连续 （3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续。 在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格

-1

单调减少），则它的反函数x=f（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。

（三）闭区间上连续函数的性质 在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得 f（ξ）=0

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（四）初等函数的连续性

由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。

定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。

利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则 f（x）在x0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 ［0407］

[0611]

3

例1.证明三次代数方程x-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根.

3

证：设f（x）=x-5x+1 f（x）在［0，1］上连续 f（0）=1 f（1）=-3

由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1）

3

使得f（ξ）=0，ξ-5ξ+1=0

即方程在（0，1）内至少有一个实根。 本章小结

函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。

这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下： 一、概念部分

重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。

极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。

函数在一点连续性的三个基本要素： （1）f（x）在点x0有定义。 （2）存在。 （3）。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。 二、运算部分

重点：求极限，函数的点连续性的判定。 1.求函数极限的常用方法主要有：

（1）利用极限的四则运算法则求极限；

对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。 （2）利用两个重要极限求极限；

（3）利用无穷小量的性质求极限； （4）利用函数的连续性求极限； 若f（x）在x0处连续，则。

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（5）利用等价无穷小代换定理求极限； （6）会求分段函数在分段点处的极限； （7）利用洛必达法则求未定式的极限。

2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。

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