微分几何习题解答(曲线论) 下载本文

微分几何主要习题解答

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

???????r'(t)= 0。

? 分析:一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式,其中e(t)为单位向

??量函数,?(t)为数量函数,那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向,??即e(t)为常向量,(因为e(t)的长度固定)。

????? 证 对于向量函数r(t),设e(t)为其单位向量,则r(t)=?(t)e(t),若r(t)具有固

????????定方向,则e(t)为常向量,那么r'(t)=?'(t)e,所以 r×r'=??'(e×e)=0。

?????????er'r'反之,若r×=0 ,对r(t)=?(t)e(t) 求微商得=?'e+?',于是r×

?????????2r'=?(e×e')=0,则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时,r(t)=0可与任意方向平行;当?????????2?2???2

0时,有e×e'=0,而(e×e')2=ee'-(e·e')2=e',(因为e??????e'e具有固定长, e·= 0) ,所以 '=0,即e为常向量。所以,r(t)具有固定方向。

???6.向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是(rr'r'')=0 。

??分析:向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t),使

??????r(t)·n = 0 ,所以我们要寻求这个向量n及n与r',r''的关系。

???证 若r(t)平行于一固定平面π,设n是平面π的一个单位法向量,则n为常向

????????量,且r(t)·n = 0 。两次求微商得r'·n = 0 ,r''·n = 0 ,即向量r,r',r''垂直

???于同一非零向量n,因而共面,即(rr'r'')=0 。

???????????反之, 若(rr'r'')=0,则有r×r'=0 或r×r'?0。若r×r'=0,由上题知

???r(t)具有固定方向,自然平行于一固定平面,若r×r'??0,则存在数量函数?(t)、

???(t),使r''= ?r+?r' ①

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???令n=r×r',则n???????0,且r(t)⊥n(t)。对n=r×r'求微商并将①式代入得

????n'=r×r''=?(r×r')=???????n,于是n×n'=0,由上题知n有固定方向,而r(t)??⊥n,即r(t)平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1.求圆柱螺线x=cost,y=sint,z=t在(1,0,0)的切线和法平面。

?解 令cost=1,sint=0, t=0得t=0, r'(0)={ -sint,cost,1}|t?0 ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 x?1?y?z ,法平面为 y + z = 0 。

011?2.求三次曲线r?{at,bt2,ct3}在点t0的切线和法平面。

23x?at0y?bt0z?ct0?2解 r'(t0)?{a,2bt0,3ct0},切线为, ??2a2bt03ct0223法平面为 a(x?at0)?2bt0(y?bt0)?3ct0(z?ct0)?0。

3. 证明圆柱螺线r={ a cos?,asin?,b?} (???????)的切线和z轴作固定角。

?r证明 '= {-asin? ,acos?,b},设切线与z轴夹角为?,则cos?

???r'?kb=???22为常数,故?为定角(其中k为z轴的单位向量)。 |r||e|a?b4. 求悬链线r={tt,acosha}(-??t??)从t=0起计算的弧长。

t解 r'= {1,sinha},|r' | =

??1?sinh2tat = cosha, s=

?cosh0ttatdt?asinha 。

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9.求曲线x3?3a2y,2xz?a2在平面y?3 与y = 9a之间的弧长。

a?x3a2解 曲线的向量表示为r={x,2,},曲面与两平面y?3 与y = 9a的交

3a2xa??x2a2x2a2x4a4点分别为x=a 与x=3a , r'={1,2,?2},|r'|=1??4=2?2,

a2xa44xa2x所求弧长为s??3aax2a2(2?2)dx?9a 。 a2x10. 将圆柱螺线r={acost,asint,bt}化为自然参数表示。 解 r'= { -asint,acost,b},s =

??t0?|r'|dt?a2?b2t,所以t?sbsa?b22sa?b22,

代入原方程得 r={acossa?b22, asina?b22, }

11.求用极坐标方程???(?)给出的曲线的弧长表达式。 解 由x??(?)cos?,y??(?)sin?知r'={?'(?)cos??-?(?)sin?,

?r?'(?)sin?+?(?)cos?},|'| =

s=???0?2(?)??'2(?),从?0到?的曲线的弧长是

?2(?)??'2(?)d? 。

§4 空间曲线

1.求圆柱螺线x=acost,y=asint,z= bt在任意点的密切平面的方程。

??r'rsint解 ={ -a,acost,b},''={-acost,- asint,0 }

所以曲线在任意点的密切平面的方程为

x?acost?asint?acosty?asintacost?asintz?btb0 = 0 ,即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 .

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2. 求曲线r = { tsint,tcost,tet } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

?r解 原点对应t=0 , '(0)={ sint+tcost,cost- tsint,et+tet}t?0={0,1,1},

?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t?0 ={2,0,2} ,

所以切线方程是

xyz?? ,法面方程是 y + z = 0 ; 011xyz密切平面方程是011=0 ,即x+y-z=0 ,

202?x?y?z?0yxz? ; 主法线的方程是? 即?2?11?y?z?0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式

3.证明圆柱螺线x=acost,y=asint,zxyz?? 。 11?1= bt的主法线和z轴垂直相交。

???证 r'={ -asint,acost,b}, r''={-acost,- asint,0 } ,由r'⊥r''知r''为

????主法线的方向向量,而r''?k?0 所以主法线与z轴垂直;主法线方程是

x?acosty?asintz?bt??

costsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。

4.在曲线x = cos?cost ,y = cos?sint , z = tsin?的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 r'= {-cos?sint, cos?cost, sin? } , r''={ -cos?cost,- cos?sint , 0 }

??r'?r''?????{sin?sint ,- sin?cost , cos? }

|r'?r''|???新曲线的方程为r={ cos?cost + sin?sint ,cos?sint- sin?cost ,tsin? + cos? }

对于新曲线r'={-cos?sint+ sin?cost ,cos?cost+ sin?sint,sin? }={sin(?-t),

?cos(?-t), sin?} , r''={ -cos(?-t), sin(?-t),0} ,其密切平面的方程是

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x?cosacostsin(a?t)?cos(a?t)y?cosasintcos(a?t)sin(a?t)z?tsinasina0?0

即 sin? sin(t-?) x –sin? cos(t-?) y + z – tsin? – cos? = 0 .

5.证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一:

??设一曲线为一球面曲线,取球心为坐标原点,则曲线的向径r(t)具有固定

?r长,所以r·'= 0,即曲线每一点的切线与其向径垂直,因此曲线在每一点的法平面

通过这点的向径,也就通过其始点球心。

? 若一曲线的所有法平面通过一定点,以此定点为坐标原点建立坐标系,??则r·r'= 0,r(t)具有固定长,对应的曲线是球面曲线。

方法二:

r?r(t)是球面曲线?存在定点r0(是球面中心的径矢)和常数R(是球面的

半径)使(r?r0)2?R2?2(r?r0)?r??0 ,即(r?r0)?r??0 (﹡)

而过曲线r?r(t)上任一点的法平面方程为(??r)?r??0 。可知法平面过球面中心?(﹡)成立。

所以,曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

6.证明过原点平行于圆柱螺线r={acost,asint,bt}的副法线的直线轨迹是锥面a2(x2?y2)?bz2.

???证 r'={ -asint,acost, }, r''={-acost,- asint,0 } ,r'×?r''=?a{?bsint,bcost,?a}为副法线的方向向量,过原点平行于副法线的直线的方程

yxz?? ,消去参数t得a2(x2?y2)?bz2。 bsint?bcosta

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