第2讲 等差数列及其前n项和

一、知识梳理

1．等差数列与等差中项 (1)定义：

①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； ②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋3．等差数列的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

n(n－1)n(a1＋an)d＝． 22(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 常用结论

1．等差数列与函数的关系

(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．

n(n－1)dd

a1－?n是关于n的二次函数(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋?2??22且常数项为0.

2．两个常用结论

(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 S奇an

①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；

S偶an＋1

S奇n

②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. S偶n－1an

(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.

T2n－1bn二、教材衍化

1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487. 答案：487

2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．

解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.

答案：180

24

3．已知等差数列5，4，3，…，则前n项和Sn＝________．

77

S2n－1

n(n－1)51

解析：由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)．

72141

答案：(75n－5n2)

14

4．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________．

??a1＋5d＝2，

解析：由已知可得?

?5a1＋10d＝30，?

?8×7

解得?所以S＝8a＋d＝32.

24

?d＝－3，8

1

26a1＝，3

答案：32

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( )

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( ) (5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )

(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× 二、易错纠偏