【解答】解：（1）∵CD∥AB，AD＝BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB＝∠DAB＝30°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∴∠ACB＝90°．

（2）∵CD∥AB，

∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°， ∴AD＝CD＝BC＝1，

在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴AB＝2BC＝2， ∵

+

+

＝

， +

+

的模分别为1和2．

∴向量和向量

22．（10分）如图直线y＝2x+m与y＝（n≠0）交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4）． （1）求此直线和双曲线的表达式；

（2）过x轴上一点M作平行于y轴的直线1，分别与直线y＝2x+m和双曲线y＝（n≠0）交于点P，Q，如果PQ＝2QM，求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵y＝2x+m与y＝（n≠0）交于A（1，4），

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∴∴

， ，

∴直线的解析式为y＝2x+2，反比例函数的解析式为y＝．

（2）设M（a，0）， ∵l∥y轴，

∴P（a，2a+2），Q（a）， ∵PQ＝2QD， ∴|2a+2﹣|＝|2×|， 解得：a＝2或a＝﹣3， ∴M（﹣3，0）或（2，0）．

23．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是边AD上两动点，且AE＝DF，BE与对角线AC交于点G，联结DG，DG交CF于点H． （1）求证：∠ADG＝∠DCF；

（2）联结HO，试证明HO平分∠CHG．

【解答】证明（1）∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝AD＝CD＝BC，∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠CAB＝45°，AC⊥BD ∵DC＝AB，DF＝AE，∠CDA＝∠DAB＝90° ∴△DFC≌△AEB ∴∠ABE＝∠DCF

∵AG＝AG，AB＝AD，∠DAC＝∠CAB＝45° ∴△ADG≌△ABG ∴∠ADG＝∠ABE ∴∠DCF＝∠ADG

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（2）∵∠DCF＝∠ADG，且∠ADG+∠CDG＝90° ∴∠DCF+∠CDG＝90° ∴∠CHD＝∠CHG＝90° ∵∠CHD＝∠COD ∴C，D，H，O四点共圆 ∴∠CHO＝∠CDO＝45° ∴∠GHO＝∠CHO＝45° ∴HO平分∠CHG

24．（12分）观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现．某学校数学业余学习小组在平面直角坐标系xOy有关研讨中，将到线段PQ所在的直线距离为

的直线，称为直线PQ的“观察线”，并称观察线上到P、Q两点距

离和最小的点L为线段PQ的“最佳观察点”． （1）如果P（1，

），Q（4，

），那么在点A（1，0），B（，2

），C（

，3）中，

处在直线PQ的“观察线”上的是点 A，B ； （2）求直线y＝

x的“观察线”的表达式；

（3）若M（0，﹣1），N在第二象限，且MN＝6，当MN的一个“最佳观察点”在y轴正半轴上时，直接写出点N的坐标；并按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，直接写出联结所围成的多边形的周长和面积． 【解答】解：（1）如图1中，

由题意线段PQ的“观察线”的解析式为y＝0或y＝2∵点A在直线y＝0上，点B在直线y＝2

上，

，

∴点A，点B是直线PQ的“观察线”上的点， 故答案为A，B．

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（2）如图2中，设直线y＝

x的下方的“观察线”MN交y轴于K，作KE⊥直线y＝

x，

由题意：EK＝∵直线y＝

，

x与x轴的夹角为30°，

∴∠EOK＝60°， ∴∠EKO＝30°， ∴tan30°＝∴OE＝1， ∴OK＝2OE＝2， ∵MN∥直线y＝

x，

x﹣2，

x上方的“观察线”PQ的解析式为y＝

x﹣2或y＝

x+2． x+2．

＝

，

∴直线MN的解析式为y＝根据对称性可知在直线y＝综上所述，直线y＝

x的“观察线”的解析式为y＝

（3）如图3中，设点Q是MN的一个“最佳观察点”，点P是MN的中点．

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