曲线积分与曲面积分

例1 求曲面z?x?y和z?2?表面积S．（第一届：一） 解 将z?x?y和z?2?222222x2?y2所围成的立体的体积V和

x2?y2联立，解得z1?1，z2?4（舍

22?z?1去）．z?x?y与z?2?x?y的交线可表示为?2．所2x?y?1?以，该几何体?在xOy平面上的投影区域为D：x?y?1．于是，有

22V????2?Dx?y22?dxdy???（x?y）22极2?05d??（2????2）?d???；

061或有 V????dV??柱坐标?2?0d???d??0212???2dz?

5

?， 6

或有 V?或 V?切片法1?0?(z)2dz??1?(2?z)2dz??，

56

薄筒法152??． 2?y[(2?y)?y]dy?06

??2:z?2?x2?y2,(x,y)?DS??1:z?x2?y2,(x,y)?D??dS??dS

?ydxdy ???1?（x2?y2)?x?（x2?y2）D22?x??ydxdy ???1?（2?x2?y2）（2?x2?y2）D22???1?4(x2?y2)dxdy???2dxdy

DD极;性质??2?0d??10?1??2??． 1?4?2?d??2|D|??（55?1）?6?

1

例2 已知曲线积分

1(xdy?ydx)?A（常数），其中?(x)是2??(x)?yL可导函数且?(1)?1，L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线，试求出（第二届：九） ?(x)及A．

解 设l为平面上任意一条不经过原点也不环绕原点的正向闭曲线．将l分割为l1与l2（如图），并且取辅助路径l3，使得l1?l3、?l2?l3均构成绕原点(0,0)一周的正向闭曲线．于是，

????????(???)?(???)??ll1?l2l1l2l1l3l3l2?l1?l3?l2?l3??题设A?A?0，

所以在任何不含原点的单连域内，沿任意闭路l的积分

1(xdy?ydx)均为零． 2??(x)?yL记P??yxQ?，．根据格林公式的推论，有

?(x)?y2?(x)?y2?Q?P?， ?x?y得 ??(x)?y??(x)?y?x??(x)，即x??(x)?2?(x)． 解出?(x)?Ce公式法2??dxx22??Cx2．再由?(1)?1，有C?1．

??(x)?x2．

取L：x?y?1，正向．则

22A将?(x)的表达式代入?xdy?ydx?2x2?y22x?y?1L的方程?x2?y2?1?xdy?ydx

格林公式?D:x2?y2?1??[1?(?1)]dxdy?2|D|?2?，

2

或 A?同上x2?y2?1?xdy?ydx

???L:x?cos?,y?sin?,??[??,?]??cos?dsin??sin?dcos???化为第一类：t0?(?y,x)??d??2?，

??或 A?L的方程同上x2?y2?1?xdy?ydx?x2?y2?1?[x?x?y(?y)]ds

?x2?y2?1?ds?|L|?2?．

??S

例3 计算I?2dydzdzdxdxdy??，其中S是球面222xcosxcosyzcoszx2?y2?z2?1的外侧．（第四届：五）

解 ???Sdydzxcos2x轮换对等性???Sdzdxycos2y轮换对等性?dxdy， 2??zcoszSdzdx且??cos2yS左右对称性?0，

?I?2??S线性dxdydydzdzdx?? 22??cosyzcoszxcos2x??SS轮换对等性左右对称性?2??Sdxdydxdydxdy?? ?0222????zcoszzcoszzcoszSS上下对称性?22S上半部分:z?1?x?y2,(x,y)?Dxy??dxdy 2zcosz:x2?y2?1化为对(x,y)的二重积分?2??Dxy?dxdy1?x?ycos2221?x?y1022

?2?极2?0d??102?d?1??cos21??2?4??凑?d1??2cos21??2

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