1. 设X(t)?A?Bcost,???t???，其中A和B为相互独立均服从N(0,1)的随机变量.

（1）证明{X(t),???t???}为正态过程；

（2）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.

2. 设{X(t),t?(??,??)}是均值函数为0，自相关函数RX(s,t)??s?t?s?t?/2 的正态过程，证明Y1(t)?X(t)，t?0，Y2(t)?X(?t),t?0是相互独立的正态过程。

??3. 设{W(t)}0是参数为?的维纳过程，试证明

2

1??tW()W?(t)??t??0是参数为?的维纳过程。

2

t?0t?0

4. 设{W(t),t?0}是参数为?2的维纳过程，证明W1(t)?c?W(过程。

t2

)t?0是参数为?的维纳2c2

5. 设{W(t),t?0}是参数为?2的维纳过程，证明W2(t)??W(t)是参数为?的维纳过程。 6. 设{W(t),t?0}是参数为?2的维纳过程，证明W3(t)?W(t?a)?W(a)为?的维纳过程

7. 设{W(t),t?0}是参数为?2的维纳过程，令

2

a?0,t?0是参数

?21?tW(3)t?0 W?(t)??t?t?0?0（1）?W??t?,t?0?是否为正态过程； （2）?W??t?,t?0?是否为维纳过程。

8. 设{X(t),t?0}是具有零均值和协方差C(s,t)的正态过程，则对于任意的非负数s,t和?，

证明：

（1）E[X2(t)]?C(t,t)?D(t)； （2）D[X2(t)]?2C2(t,t)?2D2(t)；

1

（3）cov(X2(s),X2(t))?2C2(s,t)； （4）E[X(t)X(t??)]?C(t,t??)；

（5）D[X(t)X(t??)]?C(t,t)C(t??,t??)?C2(t,t??)；

（6）cov[X(s)X(s??),X(t)X(t??)]?C(s,t)C(s??,t??)?C(s,t??)C(s??,t) 9. 设{W(t),t?0}是参数?2?4的维纳过程，令

X?W(3)?W(1),Y?W(4)?W(2).

求：D(X?Y)和cov(X,Y).

??10. 设{W(t)}0是为参数为?2的Wiener过程，求下列过程的均值函数和自相关函数。

1）X1(t)?W(t?a)?W(t)a?0

2）X2(t)?W(t?a)?W(a) a?0

t3）X3(t)?(1?t)?W() 0?t?1

1?t4）X4(t)?W2(t) 5）X5(t)?a?W(t)(a?0) a26）X6(t)?e?atW(e2at?1)(a?0)

11. 设{X(t)}为平稳独立增量过程. X(0)?0，V~N(0,1)，X(t)，V相互独立.

Y(t)?X(t)?V.

求{Y(t)}的相关函数、协方差函数.

12. 设{N1(t),t?0}是参数为?1的Poisson过程，{N2(t),t?0}是参数为?2的Poisson过程，

二者相互独立，设

X(t)?N1(t)?N2(t),Y(t)?N1(t)?N2(t)

（1）证明{X(t),t?0}是参数为???1??2的Poisson过程； （2）证明{Y(t),t?0}不是Poisson过程.

13. 设{N1(t),t?0}和{N2(t),t?0}是两个参数分别为?1和?2的独立的Poisson过程。试判断

{N1(t)?N2(t),t?0}是否为复合Poisson过程？

2

{N(t),t?0}是平均率为?的Poisson过程. 14. 设N(t)表示某发射源在[0,t)内发射的粒子数，

若每一个发射的粒子都以概率p的可能被记录. 且一粒子的记录不仅独立于其他粒子的记录，也独立于N(t). 若以M(t)表示在[0,t)内被记录的粒子数. 证明{M(t),t?0}是一平均率为?p的Poisson过程. 15. 设{X(t),t?0}是复合的Poisson过程，

X(t)??Yn,t?0,

n?1N(t)试证明{X(t),t?0}是平稳的独立增量过程。

16. 假设[0,t)内顾客到达商场的人数{N(t),t?0}是平均率为?的Poisson过程，且每一个到

达商场的顾客是男性还是女性的概率分别为p和q. (p?q?1)设N1(t)和N2(t)分别为[0,t)内到达商场的男女顾客数. 求N1(t)和N2(t)的分布. 并证明它们相互独立.

17. 设{N(t),t?0}是参数为?的Poisson过程，分别求：

（1）E[N(s)N(t?s)]；

（2）0?s?t时，P{N(s)?k|N(t)?n}； （3）P{N(t?s)?j|N(s)?i}.

18. 设{N1(t),t?0}是参数为?1的Poisson过程，{N2(t),t?0}是参数为?2的Poisson过程，

二者相互独立，对0?k?n，证明下列成立.

?1???2?k?（1）P{N1(t)?k|N1(t)?N2(t)?n}?Cn??????1??2???1??2?（2）E[N1(t)|N1(t)?N2(t)?n]?n?1. ?1??2kn?k

19. 设到达电影院的观众组成强度为?的Poisson流，如果电影院在t时刻开演，求在[0,t]到达电影院的观众等待时间总和的均值。

20. 某子商店上午8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，从8时开始顾

客平均到达率为5人/h，11时到达率为20人/h，从11时至下午1时到达率不变，从下午1时至5时顾客率线性下降，到下午5时顾客到达率为12人/h，设在不同时间间隔内到达的顾客数相互独立，求上午8时至9时无顾客的概率，以及该时间段的平均顾客数。

3