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专题六 概率与随机变量及其分布 第2讲 随机变量及其分布列练习
1.(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 C.0.36
B.0.432 D.0.312
2
2
解析 3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C3×0.6×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.6，所以通过测试的概率P＝P(k＝2)＋P(k＝3)＝C3×0.6×(1－0.6)＋0.6＝0.648.故选A. 答案 A
2.(2017·合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于( ) 8A. 54C. 5
6B. 52D. 5
3
，满足二项分布，则有E(X)＝np3＋m3
2
2
3
解析 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p＝
33?3?6
＝5×＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5××?1－?＝.
3＋m5?5?5答案 B
3.(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析 若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；故选B. 答案 B
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4.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.则有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( ) 16A. 625C.624 625
B.D.96 6254 625
解析 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情况；若摸出的两球是2，6，也能获奖.故获奖的情形共6种，获奖的概率为
62
＝.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是2C65
?2?396C??·＝. ?5?5625
34
3
答案 B
5.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，
n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中.
(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)； (b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1，2). 则( )
A.p1>p2，E(ξ1)
解析 随机变量ξ1，ξ2的分布列如下： ξ1 1 2 B.p1 P ξ2 1 Cn 2Cm＋n2 m＋nnmm＋n 2 CmCn2 Cm＋n113 Cm2 Cm＋n2P 所以E(ξ1)＝ 2m2m＋n＝， m＋nm＋nm＋n＋ n 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰2 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 Cn2CmCn3Cm3m＋nE(ξ2)＝2＋2＋2＝， Cm＋nCm＋nCm＋nm＋n所以E(ξ1) 2 2 11 2 12m＋n·＝， m＋nm＋n22（m＋n） ＋11 2 mnCmCmCn2Cn13m＋np2＝2＋2·＋2·＝， Cm＋nCm＋n3Cm＋n33（m＋n） p1－p2＝ n>0，所以p1>p2. 6（m＋n） 答案 A 二、填空题 6.(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________. 解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝111333?3?－×＝，∵2次独立试验成功次数X满足二项分布X～B?2，?，则E(X)＝2×＝. 22442?4?3答案 2 7.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)，现定义数列an＝ ??－1，点数不是3的倍数，?Sn是其前n项和，则S5＝3的概率是________. ?1，点数是3的倍数，? 2解析 该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为，结果为1发生的概率 31 为，S5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次. 3 ?2?故其概率为C·???3? 15 11410??＝. ?3?243?? 答案 10 243 8.(2017·金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表： 同学 概率 甲 0.5 乙 丙 a a 7 现请三位同学各投篮一次，设ξ表示命中的次数，若E(ξ)＝，则a＝__________. 6解析 ξ可取值0，1，2，3. P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2； P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)； 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰3