一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基. 5．闭包

答案：设X是一个拓扑空间，A?X.集合A与集合A的导集d(A)的并A?d(A)称为集合A的闭包. 6、序列

答案：设X是一个拓扑空间，每一个映射S:Z??X叫做X中的一个序列. 7、导集 答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集. 8、不连通空间

答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个不连通空间. 9、连通子集

答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集. 10、不连通子集

答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间，则称Y是X的一个不连通子集. 11、A 1空间

答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A 1空间. 12、A 2空间

答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A 2空间.

13、可分空间

答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间. 14、T0空间：

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答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T0空间. 15、T1空间：

答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T1空间. 16、T2空间：

答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T2空间.

17、正则空间：

答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间. 18、正规空间：

答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间. 19、完全正则空间：

答案：设X是一个拓扑空间，如果对于?x?X和X中任何一个不包

含点x的闭集B存在一个连续映射f:X?[0,1]使得f(x)?0以及对于任何y?B有f(y)?1，则称拓扑空间X是一个完全正则空间. 五．简答题（每题4分）

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明gf:X?Z也是连续映射.

答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g?1(W)是Y的一个开集，由f:X?Y是连续映射，故

f?1(g?1(W))是X的一开集，因此 (gf)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的

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开集，所以gf:X?Z是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集.

答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域

U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集.

6、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓

扑T .

答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 7、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.

答案：T ?{?,Y,{[?1]},{[?1],[1]}} 12、离散空间是否为A2空间?说出你的理由.

答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是A2空间.至多含有可数多个点的离散空间是A2空间.

13、试说明实数空间R是可分空间.

答案: 因为Q是可数集，且R的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此Q?R，故实数空间R是可分

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空间.

19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每

一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得V?U.

答案：设A是X的任何一个闭集，若A是空集，则结论显然成立.下设A不是空集，则对A的任何一个开邻域U，则U的补集U?是一个不包含点A的一个闭集. 由于X是一个正规空间，于是A和

U?分别有开邻域V和W,使得V?W??，因此V?W?，所以

V?W???W??U.

20、试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集.

答案：设A是X的任何一个子集，若A是空集，则d(A)??，从而

A的导集是闭集.下设A不是空集，则对?x?(d(A))?,则x有开邻域

U,使得(U?{x})?A??，由于X是T1空间，从而U?{x}是开集，

故

?,所以(d(A))?是它每一点的邻 U?{x}?(d(A))?,于是U?(d(A))域，故(d(A))?是开集，因此d(A)是闭集.

六、证明题（每题8分）

2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B. 证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分 由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若

B?Y??,则Y?A;若A?Y??,则Y?B………………… 8分 3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.

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证明：因为A,B是X的闭集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的闭集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分 由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若

B?Y??,则Y?A;若A?Y??,则Y?B………………… 8分 8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.

证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，

设为V x ,因为X是可数补空间，因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}. 于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：

?X?{x}?y?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?

因为X?{x}是一个不可数集，而

y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.

从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分 10、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足

第二可数性公理，证明：Y也满足第二可数性公理.

证明：设X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基.由于

f:X?Y是一个开映射，B ?{f(B)|B?B}是由Y中开集构成的一

个可数族. …………………………………………………………3分

下面证明B是Y的一个基.设U是Y的任意开集，则f?1(U)是X中的一个开集.因此存在B 1?B,使得f?1(U)?B?B 1B.由于f是一

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