个满射，所以有U?f(f?1(U))?B?B 1f(B),从而U是B中某些元素

的并，故B是Y的一个基.这说明Y也满足第二可数性公理. ……8分

12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点. 证明：若A没有凝聚点，则对任x?A,一定存在x的一个邻域Ux， 使得：Ux?A?{x},由于X满足第二可数性公理，设B是它的可数基，故一定存在一个Bx?B,使得：x?Bx?Ux,

更有Bx?A={x}, ……………………………………………………4分 若令C={Bx| x?A, Bx? B, Bx?Ux},则有C ? B ，从而C必可数.于是 A =?{x}=

x?A(Bx?A).这样A就是可数集，这与题设A为

Bx?C不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚点. …………………8分 13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的

集族都是可数族. 证明：设A是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族, 由于X满足第二可数性公理，

设B是X的可数基 ………………………………………………3分 对A的每一个元素A ,因为B是X的基,存在B?B使得B?A.因为A中的元素两两无交,从而A中不同元素包含B中的元素也不相同.因为B可数, 故A是可数族. ………………………………8分 15、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：对x的每一个邻域U有

U?A是无限集.

证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设

B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是

一个开集且是x的一个开邻域. …………………………………4分

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又易知(U?B)?(A?{x})??,从而x?d(A)，矛盾.故U?A是无限集. …………………………………………………………………8分 21、设X是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X的任何两个无交的闭

集A,B都存在一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.证明：X是一个正规空间.

证明：设A,B是X的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.设U?f?1([0,0.5)),V?f?1((0.5,1]),……………………………4分 易知U,V分别是A和B的开邻域且U?V??.从而X是一个正规空间. ………………………………………………………………8分 22、证明T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定

是一个不可数集.

证明：设C是T4空间X中的一个连通子集，如果C不只包含一个点，任意选取x,y?C,x?y.对于T4空间X中的两个无交的闭集

{x},{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X?[0,1]，

使得f(x)?0和f(y)?1.………………………………………4分 由于C是X的一个连通子集，从而f(C)连通，由于0,1?f(C)， 所以f(C)?[0,1]，由于[0,1]是一个不可数集，所以C也是一个不可数集. ……………………………………………………………8分

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