16、特殊解题方法

【穷举法】 解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。

例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图3．28）

分析：从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。

解：3×4＝12 答：共有12条路线。

例2 如果一整数，与1、2、3这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的。在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中，可用的有_______个。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）

分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。 4×（1＋2＋3）＝24 （5＋1＋2）×3＝24 6×（3＋2－l）＝24 7×3十豆十2—24 8×3×（2－1）＝24 9×3—1—2—24 10×2＋l＋3＝24 11×2＋3－l＝24

12×（3＋1－2）＝24

通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。 答：可用的数有9个。

例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_______个三位数，其中能被5整除的三位数有_________个。（1993年全国小学数学竞赛预赛试题） 分析：根据题中所给的数字可知： 三位数的百位数只能有三种选择：

十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有3种选择； 个位数在余下的两个数字中取一个数字，有2种选择。

解:把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被5整除的。 305， 307， 350， 357， 370， 375； 503， 507， 530， 537， 570， 573； 703， 705， 730， 735， 750， 753

答：能排成18个三位数，其中能被5整除的有10个数。

例4 数一数图3．30中有多少个大小不同的三角形？

分析：为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形，可以把三角形分成A、B、C、D四类。

A类：是基本的小三角形，在图中有这样的三角形16个；

B类：是由四个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形7个。6个尖朝上，一个尖朝下。

C类：是由九个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形3个，尖都朝上。

D类：是最大的三角形，图中只有1个。 解：16＋7＋3＋1＝27（个）

答：图中有大小不同的三角形共27个。

【设数法】 有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。

给哪一个未知量设数，要便于快速解题。为了使计算简便，数字尽可能小一点。在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。若单位“ 1”未知，就给单位“1”设具体数值。

例1 判断下列各题。（对的打√，错的打×） （1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1。（ ） （2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（ ）

以上各数的倒数都小于1，就能猜测此题的说法是正确的。

第（2）小题，给正方体的棱长设数，分析棱长的变化与其体积变化的规律。