专题十八 不等式选讲

卷Ⅰ 含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题 卷Ⅱ 含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题 基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法 含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式及应用 卷Ⅲ 含绝对值函数的图象与绝对值不等式恒成立问题 含绝对值不等式的解法、函数最值的求解 含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质 考题涉及绝对值不等2018 2017 含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围 2016 含绝对值不等式的解法、分段函数的图象及应用 考题主要涉及绝对值不等式的解法及绝对值不等式纵向把握趋势 的恒成立问题、由不等式的解集求参问题．预计2019年仍以考查绝对值不等式的解法为主，同时兼顾最值或恒成立问题的考查 考题涉及绝对值不等式的解法、绝对值不等式的恒成立问题以及不等式的证明，难度适中．预计2019年会考查含绝对值不等式的解法、不等式的证明问题 式的解法、绝对值不等式的恒成立问题、函数最值的求解，难度适中．预计2019年仍会考查绝对值不等式的解法，同时要关注不等式的证明问题 1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等横向把式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综握重点 合问题的求解． 2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.

含绝对值不等式的解法

[由题知法]

[典例] (2018·福州模拟)设函数f (x)＝|x－1|，x∈R. (1)求不等式f (x)≤3－f (x－1)的解集；

?3?(2)已知关于x的不等式f (x)≤f (x＋1)－|x－a|的解集为M，若?1，??M，求实数?2?

a的取值范围．

[解] (1)因为f (x)≤3－f (x－1)，

??x＜1，

所以|x－1|≤3－|x－2|?|x－1|＋|x－2|≤3??

??3－2x≤3??x＞2，

???2x－3≤3，

??1≤x≤2，

或???1≤3

或

解得0≤x<1或1≤x≤2或2

故不等式f (x)≤3－f (x－1)的解集为[0,3]．

?3??3?(2)因为?1，??M，所以当x∈?1，?时，

?2??2?

f (x)≤f (x＋1)－|x－a|恒成立，

而f (x)≤f (x＋1)－|x－a|?|x－1|－|x|＋|x－a|≤0?|x－a|≤|x|－|x－1|≤|x－x＋1|＝1，

所以|x－a|≤1，即x－1≤a≤x＋1，

1?3?由题意，知x－1≤a≤x＋1对于任意的x∈?1，?恒成立，所以≤a≤2，故实数a的

2?2?

?1?取值范围为?，2?.

?2?

[类题通法] 含绝对值的不等式的解法 (1)|f (x)|>a(a>0)?f (x)>a或f (x)<－a； (2)|f (x)|0)?－a

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c>0)，|x－a|－|x－b|≥c(或≤c)(c>0)型不等式，可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．

①零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤： (ⅰ)令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (ⅱ)将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；

(ⅲ)由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； (ⅳ)取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． ②利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法：

由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)或|x－a|－|x－b|≥c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．

[应用通关]

1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当a＝1时，求不等式f (x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)时不等式f (x)>x成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f (x)＝|x＋1|－|x－1|， －2，x≤－1，??

即f (x)＝?2x，－1

??2，x≥1.

?

?1?

故不等式f (x)>1的解集为?x x>?.

2??

(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立． 若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；

?2?

若a>0，则|ax－1|<1的解集为?x 0

a?

2

所以≥1，故0

a综上，a的取值范围为(0,2]．

2．(2018·合肥质检)已知函数f (x)＝|2x－1|. (1)解关于x的不等式f (x)－f (x＋1)≤1；

(2)若关于x的不等式f (x)

1??x≤－，

2或???1－2x＋2x＋1≤1，

11??－

111解得x≥或－≤x<，

242

1?1?即x≥－，所以原不等式的解集为?－，＋∞?.

4?4?(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．

由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，