逼近思想在实分析中的应用研究

摘要：首先介绍逼近思想产生的国内外背景，论述逼近思想及其分类。接着研究逼近思想

在数学分析中的应用，在可微性方面，用多项式函数逼近初等函数；在可积性方面，用阶梯函数和连续函数来逼近R可积函数。其次探讨逼近思想在实变函数中的应用，从可测集、可测函数、L积分和L可积函数的逼近来说明逼近思想在实变函数中的具体体现。最后总结逼近思想在L积分中应用与在R积分中应用的相似之处。

关键词：逼近思想；R可积函数；可测集；可测函数；L积分；L可积函数

Abstract：Firstly this paper provides background of approximation theory and illustrates approximation theory and its classification.Then this article studies the application of approximation theory in Mathematical Analysis,In terms of differentiability,approximation of the elementary function by polynomial function; In terms of integrability,approximation of Riemann integrable functions by staircase function and continuous function.Finally this paper discusses the application of approximation theory in real variable function.To illustrate the approximation theory embodies in real variable function is from the measurable set, measurable function,Lebesgue integral and Lebesgue integrable function’s approximation. Key words: approximation theory;Riemann integrable function; measurable set; measurable function; Lebesgue integral;Lebesgue integrable function

引言

数学思想是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。数学思想寓于数学知识之中,我们不仅要学习数学知识，更重要的是要学习数学知识背后的数学思想。逼近思想是贯穿整个微积分学的基本思想，在数学的多个分支中都有应用。例如，常微分方程里的一阶微分方程的解的存在唯一性定理的证明过程中使用的皮卡（Picard）逐步逼近法，运筹学里最优解问题中线性规划的单纯形法，解高次方程时所用的牛顿切线法等，都体现了逼近法的思想。所以研究逼近思想具有重要意义。

网上流行“实变函数学十遍”[1]，表明了实变函数很抽象，让我们学起来很费劲。而实变函数论中运用最普遍和最具特色的数学思想就是逼近思想。[2]用逼近思想来研究实变函数论，即逼近思想在可测集、可测函数、L积分和L可积函

数的应用，可以让我们清晰地看到实变函数论的整体框架。由于L积分是从改进的R积分形成的，所以本文先研究逼近思想在R可积函数中的应用和初等函数的逼近。

1 逼近思想的概述

1.1 逼近思想产生的国内外背景

古希腊的阿基米德从圆内接和外切正六边形开始, 然后正十二边形, 正二十四边形,??对圆周长进行逼近，其中就蕴含了逼近思想；牛顿的“流数术”也运用了逼近思想；中外许多数学家证明哥德巴赫猜想的过程也运用了逼近思想等等。下面我们主要介绍刘徽的“割圆术”和“Zeno’s paradoxes”，来形象地说明什么是逼近思想。

三国时期魏国人刘徽认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，我们结合图形来说明刘徽的思想。

从图形上可以看到刘徽是在单位圆内，作内接正多边形，可以看到随着正多边形的边数的增加，正多边形越来越接近圆，于是他就用正多边形的面积近似代替单位圆的面积。正多边形的边数越多，正多边形的面积就越接近于圆的面积，而圆的面积S???12，由此看出, 要计算?的值，只需求出圆的面积，而圆的面积可以用正多边形的面积来近似代替。当刘徽算到正192边形时，即得

2.141024???3.142704。[3]

后来他一直算到圆内接正3072边形, 进一步得到

3927???3.14159,

1250可以将?精确到五位小数。

Achiles是史诗《Iliad》中的英雄人物。公元前五世纪希腊有一个哲学家Zeno认为，如果Achiles与一头乌龟赛跑，只要乌龟先跑一段路，他就永远追不上乌龟。以常识来看，这是无稽之谈！但是Zeno给出的证明为：假设Achiles与乌龟相距1000步, Achiles每秒跑10步乌龟爬1步；经过100秒, Achiles跑了1000步, 在这段时间里, 乌龟向前爬了100步； 再过10秒钟, Achiles跑完了这100步, 但乌龟又向前

爬了10步；要克服这10步, Achiles还要花1秒钟, 在这1秒钟里乌龟又向前爬了1步。这样, 乌龟总在Achiles前头, 他无论什么时候也赶不上乌龟。[4]

很明显, 这是谬论。设x为Achiles赶上乌龟所用的时间，根据题意，可以列

1出方程1000?10x?x,解得x?111。

911继续Zeno的证明，再花秒钟，Achiles跑完了这1步，乌龟又向前爬了步；

101011再花秒钟，Achiles跑完了这步，虽然这样看来乌龟在Achiles前头，但逼

10010近方程的精确解。

1.2 逼近思想方法的含义和分类

我国著名数学家华罗庚有句名言：“ 善于‘退’ , 足够地‘退’ ，‘退’

[2]

到最原始而不失去重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍! ”这句名言揭示了

逼近思想的精髓。为了解决一个讨论对象比较复杂的数学问题, 运用逐步退的方法, 退到与问题本身有着本质联系的最简单情形。通过最简单情形使问题获得解决，再逐步地扩大（或缩小）范围，逐步逼近，以至最后达到问题所要求的解。

在刘徽的“割圆术”中，我们求圆周率?，转化为求单位圆的面积。不用公式求解，而用其他方法来求圆的面积是很困难的。因为圆是曲线围成的，而不是我们所熟悉的直线围成的，于是我们退到求直线围成的图形面积，即求多边形的面积。我们用多边形的面积去代替圆的面积，但是圆的面积并不等于这多边形的面积，当圆内接多边形的边数增加时，我们发现圆内接多边形的面积更接近于圆的面积，这样逼近下去，就可以求出圆的面积。从Zeno’s paradoxes中，我们要求Achiles赶上乌龟所用的时间，直接来求是很困难的，先退到Achiles要赶上乌龟，必须跑完他们相距的1000步。当阿齐列斯跑完这1000步，乌龟又向前跑了100步，所以Achiles要跑完这100步，如此下去，就可以求出Achiles赶上乌龟所用的时间。

逼近思想的含义是为了解决一个数学问题，首先从与该问题的实质内容有着本质联系的某些容易着手的条件或某些减弱的条件出发，再逐步地扩大（或缩小）范围，逐步逼近，以至最后达到问题所要求的解。

数学中的逼近思想大致上分为两类：一类是问题解序列的逼近, 另一类是问题序列的逼近。[3]

问题解序列的逼近是给问题一个可行或近似的初始解，然后以此解为基础，按固定的程序给出一个解序列，这个解序列的极限就是该问题的精确解，序列的