《相似》学习提纲1

【学习内容】比例性质 【学习达成目标】

目标等级 目标内容 A级 了解比例的定义，理解比例的基本性质； B级 理解并会推导更比定理、合分比定理、等比定理； C级 会运用比例定理求比例的某一项、证明等比（积）式 【学习过程】 学习任务： 一、运用相似,寻找结论

比：a:b我们称为a与b的比。其中a称为比的前项，b称为比的后项，a:b常写成比b”

例1：（1）有一锐角是30的直角三角形中，三边（从小到大）的比为： ________ 。 （2）等腰直角三角形三边（从小到大）的比为 _________ 。 例2：已知：x:y?1:3，y:z?2:5，求：x:y:z＝_______________ 比例式：若

?目标要求 基本要求 略高要求 较高要求 a的形式，并读作“abac?，我们称a、b、c、d成比例式。a、d称为比例的外项，b、c称为比例的内项，d称为a、bdb、c的第四比例项

比例中项：若比例内项相同，我们称其为两个比例外项的比例中项，如项

二、比例式的性质 1． 基本性质

ab?，我们称b为a、c的比例中bcac??ad?bc（比例化等积，等积化比例） bd说明：（1）上式结论的推导原理是等式的基本性质

（2） 比例式化等积式是唯一的，但等积式化比例式不唯一 请你写出所有的比例式：

acabacdc???（更换比例的内项） 或???（更换比例的外项） bdcdbdbaacbd3．反比性质 ???（a、b、c、d均不为零）

bdacaca?bc?d?4．合比性质??（请证出此性质）

bdbd2. 更比性质 证明：

aca?bc?d??? （分比性质的证明过程可以类比合比性质的证明得到） bdbdaca?bc?d?6．合分比性质??

bda?bc?d5．分比性质 试证明合分比性质： 7．等比性质 若

a1a2??b1b2?an(b1?b2?bn?bn?0)，则

a1?a2?b1?b2??ana1? ?bnb1试证明等比性质：

三、比例式的性质应用

aca?cb?d?(b?d?0)求证：? bda?cb?db?cc?aa?b???k，则k＝？ 2、（1）若abc1、

（2）若

b?c?da?c?da?b?da?b?c????k，则k＝？ 一般结论如何？ abcd3、已知：

ace5??? ，求： bdf7（1）

a?c?ea?c?e2a?c?7e （2） （3）

b?d?fb?d?f2b?d?7f （4）若a?c?e?10，求b?d?f

第二十七章《相似》学习提纲2

【学习内容】平行线分线段成比例定理 【学习达成目标】

目标等级 目标内容 A级 理解平行线等分线段定理； B级 会推导平行线分线段成比例定理，并理解其几何意义；； C级 会运用平行线分线段成比例定理求线段长或线段之比问题； 【学习过程】 学习任务一 理解平行线分线段成比例并会证明 一、 平行线分线段成比例定理 1． 平行线等分线段定理

如图：已知l1∥l2∥l3,AB=BC=CD， 求证：EF=FG=GH 证明：

2． 归纳并猜想得到平行线分线段成比例定理

请将上述结果写成比例式，并思考图中还有没有其他比例式？

目标要求 基本要求 略高要求 较高要求 ABCDEFGHl1l2l3l4由第1题图可看出，

ACEG2ABEF1??，??等等 CDGH1BDFH2BAD将上面的结论推广到一般情况：如右图所示 ∵AD//BE//CF ∴

EABDE? BCEFCF由此我们得到如下定理；

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 3． 用面积法严格证明平行线分线段成比例定理

对于上述定理除了使用平行线等分线段定理来归纳证明以外，可以使用面积法严格证AD明：

证明：连接AE、BD、CE、BF BE ∵AD//BE

∴S?ABE?S?DBE CF ∵BE//CF

∴S?BCE?S?EFB ∴

ABS?ABES?DBEDE ???BCS?BCES?EFBEFABD4． 平行线分线段成比例定理形象记忆法

运用比例式的性质，平行线分线段成比例定理常可以得到更多的结论。 如在下图中，

ECF∵AD//BE//CF ∴

ABDE? BCEFABDEBCEF?? ACDFACDF根据比例的性质我们还能得到：

为了方便记忆，对于上述三个比例式，常形象的记忆如下：

5．用运动的观点识别定理的各种变式图形

因为截线AC和DF的位置不确定，所以可能出现以下四种情况 为了更好的观察，把延长线部分去掉，可以得到更简洁的图形

针对每一种简化的图形，都可以得到三组比例式。具体比例式请同学们写出 二、 平行线分线段成比例定理的应用 （一）有关计算

例1．如图，DE∥BC． AD＝15，AE=9，BD＝4．求AC

例2、已知：如图5-1，△ABC中，AD⊥BC于D，EF为BC的垂直平分线，BD∶DC=5∶9，AF∶FC=DE∶EC，AC=27，求AF的长．

例3、 如图5-25，已知DE∥BC，EF∥AB，AD∶DB=2∶3，BC=20cm，求BF例4．已知：如图，AD平分∠BAC，DE//AC，EF//BC，AB＝15cm，AF＝DE的长

（二）有关比例式的证明

1、已知：E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连结BE交AC于O，F

2的长度． 4cm，求

AE交FAD于

求证：BO?OF?OE

BE。 D2、 已知：如图，平行四边形ABCD ，F为AD上任意一点，BF和CD的延长线交于 C

ADCDE求证：(1)BO2?OE?OF (2)??1 DFDE3、如图，D为⊿ABC边BC的中点,过D任作一直线交过A平行于BC的直线于E，交AC延FF，交DAAB于长线于G。

O求证：FD?GE?EF?GD

A和DE4、 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF,点E,F分别在AB,AC上，DFEBC的延长线分别交BC于G，交 CB的延长线于H。求证：BH=GC FDA三．平行线分三角形两边成比例定理的逆定理

现在反过来考虑平行线分三角形两边成比例定理的逆命题是否成立： CBD如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，这条直线是否平行于三角形的第三边呢？ EGFADAE?, 判断DE是否平行于BC? ABACADAE'?过D作直线DE’∥BC交BC于E’,则 ABACADAE?又∵ ABAC问题：如图，在⊿ABC中,

HBGCAD∴AE=AE’

∴E与E’点重合 ∴DE与DE’重合

B∴DE∥BC

定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例，那么这行于三角形的第三边。

A注：以上采用的证明方法叫做同一法。

四、平行线分三角形成比例的逆定理的应用即证明直线平行问题。 1、如图，OA、OB、OC是三条射线，AB∥A’B’,BC∥B’C’

EE'OC条直线平

CBC'A'B'