北京十一学校相似三角形学案 下载本文

《相似》学习提纲1

【学习内容】比例性质 【学习达成目标】

目标等级 目标内容 A级 了解比例的定义,理解比例的基本性质; B级 理解并会推导更比定理、合分比定理、等比定理; C级 会运用比例定理求比例的某一项、证明等比(积)式 【学习过程】 学习任务: 一、运用相似,寻找结论

比:a:b我们称为a与b的比。其中a称为比的前项,b称为比的后项,a:b常写成比b”

例1:(1)有一锐角是30的直角三角形中,三边(从小到大)的比为: ________ 。 (2)等腰直角三角形三边(从小到大)的比为 _________ 。 例2:已知:x:y?1:3,y:z?2:5,求:x:y:z=_______________ 比例式:若

?目标要求 基本要求 略高要求 较高要求 a的形式,并读作“abac?,我们称a、b、c、d成比例式。a、d称为比例的外项,b、c称为比例的内项,d称为a、bdb、c的第四比例项

比例中项:若比例内项相同,我们称其为两个比例外项的比例中项,如项

二、比例式的性质 1. 基本性质

ab?,我们称b为a、c的比例中bcac??ad?bc(比例化等积,等积化比例) bd说明:(1)上式结论的推导原理是等式的基本性质

(2) 比例式化等积式是唯一的,但等积式化比例式不唯一 请你写出所有的比例式:

acabacdc???(更换比例的内项) 或???(更换比例的外项) bdcdbdbaacbd3.反比性质 ???(a、b、c、d均不为零)

bdacaca?bc?d?4.合比性质??(请证出此性质)

bdbd2. 更比性质 证明:

aca?bc?d??? (分比性质的证明过程可以类比合比性质的证明得到) bdbdaca?bc?d?6.合分比性质??

bda?bc?d5.分比性质 试证明合分比性质: 7.等比性质 若

a1a2??b1b2?an(b1?b2?bn?bn?0),则

a1?a2?b1?b2??ana1? ?bnb1试证明等比性质:

三、比例式的性质应用

aca?cb?d?(b?d?0)求证:? bda?cb?db?cc?aa?b???k,则k=? 2、(1)若abc1、

(2)若

b?c?da?c?da?b?da?b?c????k,则k=? 一般结论如何? abcd3、已知:

ace5??? ,求: bdf7(1)

a?c?ea?c?e2a?c?7e (2) (3)

b?d?fb?d?f2b?d?7f (4)若a?c?e?10,求b?d?f

第二十七章《相似》学习提纲2

【学习内容】平行线分线段成比例定理 【学习达成目标】

目标等级 目标内容 A级 理解平行线等分线段定理; B级 会推导平行线分线段成比例定理,并理解其几何意义;; C级 会运用平行线分线段成比例定理求线段长或线段之比问题; 【学习过程】 学习任务一 理解平行线分线段成比例并会证明 一、 平行线分线段成比例定理 1. 平行线等分线段定理

如图:已知l1∥l2∥l3,AB=BC=CD, 求证:EF=FG=GH 证明:

2. 归纳并猜想得到平行线分线段成比例定理

请将上述结果写成比例式,并思考图中还有没有其他比例式?

目标要求 基本要求 略高要求 较高要求 ABCDEFGHl1l2l3l4由第1题图可看出,

ACEG2ABEF1??,??等等 CDGH1BDFH2BAD将上面的结论推广到一般情况:如右图所示 ∵AD//BE//CF ∴

EABDE? BCEFCF由此我们得到如下定理;

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 3. 用面积法严格证明平行线分线段成比例定理

对于上述定理除了使用平行线等分线段定理来归纳证明以外,可以使用面积法严格证AD明:

证明:连接AE、BD、CE、BF BE ∵AD//BE

∴S?ABE?S?DBE CF ∵BE//CF

∴S?BCE?S?EFB ∴

ABS?ABES?DBEDE ???BCS?BCES?EFBEFABD4. 平行线分线段成比例定理形象记忆法

运用比例式的性质,平行线分线段成比例定理常可以得到更多的结论。 如在下图中,

ECF∵AD//BE//CF ∴

ABDE? BCEFABDEBCEF?? ACDFACDF根据比例的性质我们还能得到:

为了方便记忆,对于上述三个比例式,常形象的记忆如下:

5.用运动的观点识别定理的各种变式图形

因为截线AC和DF的位置不确定,所以可能出现以下四种情况 为了更好的观察,把延长线部分去掉,可以得到更简洁的图形

针对每一种简化的图形,都可以得到三组比例式。具体比例式请同学们写出 二、 平行线分线段成比例定理的应用 (一)有关计算

例1.如图,DE∥BC. AD=15,AE=9,BD=4.求AC

例2、已知:如图5-1,△ABC中,AD⊥BC于D,EF为BC的垂直平分线,BD∶DC=5∶9,AF∶FC=DE∶EC,AC=27,求AF的长.

例3、 如图5-25,已知DE∥BC,EF∥AB,AD∶DB=2∶3,BC=20cm,求BF例4.已知:如图,AD平分∠BAC,DE//AC,EF//BC,AB=15cm,AF=DE的长

(二)有关比例式的证明

1、已知:E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点,连结BE交AC于O,F

2的长度. 4cm,求

AE交FAD于

求证:BO?OF?OE

BE。 D2、 已知:如图,平行四边形ABCD ,F为AD上任意一点,BF和CD的延长线交于 C

ADCDE求证:(1)BO2?OE?OF (2)??1 DFDE3、如图,D为⊿ABC边BC的中点,过D任作一直线交过A平行于BC的直线于E,交AC延FF,交DAAB于长线于G。

O求证:FD?GE?EF?GD

A和DE4、 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC∥EF,点E,F分别在AB,AC上,DFEBC的延长线分别交BC于G,交 CB的延长线于H。求证:BH=GC FDA三.平行线分三角形两边成比例定理的逆定理

现在反过来考虑平行线分三角形两边成比例定理的逆命题是否成立: CBD如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,这条直线是否平行于三角形的第三边呢? EGFADAE?, 判断DE是否平行于BC? ABACADAE'?过D作直线DE’∥BC交BC于E’,则 ABACADAE?又∵ ABAC问题:如图,在⊿ABC中,

HBGCAD∴AE=AE’

∴E与E’点重合 ∴DE与DE’重合

B∴DE∥BC

定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例,那么这行于三角形的第三边。

A注:以上采用的证明方法叫做同一法。

四、平行线分三角形成比例的逆定理的应用即证明直线平行问题。 1、如图,OA、OB、OC是三条射线,AB∥A’B’,BC∥B’C’

EE'OC条直线平

CBC'A'B'