2kx1x2＋?m－1??x1＋x2?＝.

x1x2由题设k1＋k2＝－1，

故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.

4m2－4－8kmm＋1

即(2k＋1)·2＋(m－1)·2＝0，解得k＝－.

24k＋14k＋1当且仅当m＞－1时，Δ＞0， m＋1

于是l：y＝－x＋m，

2m＋1

即y＋1＝－(x－2)，

2所以l过定点(2，－1)．

x2y2

2．(2013·全国卷Ⅰ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－3

ab1

＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

2(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ABCD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值． [解] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

22

y2－y1x1y2x2y212则2＋2＝1，2＋2＝1，＝－1， ababx2－x1

b2?x2＋x1?y2－y1由此可得2＝－＝1.

a?y2＋y1?x2－x1y01

因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，

x02所以a2＝2b2.

又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3. x2y2

所以M的方程为＋＝1.

63?x＋y－3＝0，?

(2)由?x2y2

＋＝1，??63因此|AB|＝

46

. 3

43?x＝?3，解得?

3

?y＝－，?3

?x＝0，

或? y＝3.?

?53?

由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n?－＜n＜3?，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．

3??

y＝x＋n，??

由?x2y2

＋＝1，??63

得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.

－2n±2?9－n2?于是x3,4＝.

3因为直线CD的斜率为1， 4

所以|CD|＝2|x4－x3|＝ 3

9－n2.

9－n2，

186

由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝ 29当n＝0时，S取得最大值，最大值为所以四边形ACBD面积的最大值为

86

. 3

86

.3