磁悬浮小球的PID控制
3.1.3 方案的确定
综上所述，对于磁悬浮控制系统来说，采用电流控制器或电压控制器其数学模型是不同的。因此，现在面临两种控制器的选择问题。根据上述数学模型及参考文献得知，两种控制方案有如下的特点[17]：
电流控制特点：
（1）传递函数阶次低、控制算法描述简单，可满足大多数应用场合； （2）易实现简单的PD或PID控制。 电压控制特点：
（1）传递函数阶次高、装置的模型更为精确，因而鲁棒性更好； （2）开环不稳定性较弱； （3）刚度较低，易于实现；
（4）电压放大器比电流放大器更易实现。
综合考虑它们的优缺点，对于大多数小型系统而言，电流控制是可以满足的，特别是当功率放大器的峰值输出电压成倍地高出工作点电压时，允许忽略放大器中电流控制回路的动力学影响。本文为了得到比较精确些的数学模型，易于实现电压功率放大器，方便快速原型建模，就采用电压控制方式对磁悬浮系统进行控制。
因此，设系统参数如下：m为28g，R为13?，L为118mH，x0为13mm，i0为1.2A，1K为4.387?10?3Nm2/A2。根据电压控制方案下系统的模型，利用MATLAB计算出系统的传递函数为：
G(s)??138.42 (3-4)
s3?110.17s2?1264.5s?1393103.2 PID控制器设计
PID(proportional-integral-derivative)控制是在经典控制理论的基础上，通过长期的工程实践总结形成的一种控制方法，其参数物理意义明确，结构改变比较灵活，鲁棒性较强，易于实现，在大多数工业生产过程中控制效果较为显著。
现阶段，PID控制仍然是首选的控制策略之一。本设计的磁悬浮控制系统也是先尝试用PID控制器来实现控制。
PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差，将偏差的比例、积分和微分通过线性组合构成控制器，对被控对象进行控制[18]。
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第3章 控制器设计
3.2.1 PID控制基础
PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差，将偏差的比例、积分和微分通过线性组合构成控制器，对被控对象进行控制。
(1)模拟PID控制
PID控制器在时域的输入输出关系为：
?1tde(t)?u(t)?Kp?e(t)??e(t)dt??d? (3-5) 0?idt??对应PID调节器的传递函数为
??U(s)1Gc(s)??Kp?1???ds? (3-6)
E(s)??is?式中Kp为比例增益，?i为积分时间常数，?d为微分时间常数，u(t)为控制量，e(t)为控制偏差。PID控制方法具有简单明了，便于设计和参数调整等优点。
比例系数Kp主要影响系统的响应速度。增大比例系数，会提高系统的响应速度；反之，减小比例系数，会使调节过程变慢，增加系统调节时间。但是在接近稳态区域时，如果比例系数选择过大，则会导致过大的超调，甚至可能带来系统的不稳定错误！
未找到引用源。
。
积分时间常数?i主要影响系统的稳态精度。积分作用的引入，能消除系统静差，但是在系统响应过程的初期，一般偏差比较大，如果不选取适当的积分系数，就可能使系统响应过程出现较大的超调或者引起积分饱和现象。
微分时间常数?d主要影响系统的动态性能。因为微分作用主要是响应系统误差变化速率的，它主要是在系统响应过程中当误差向某个方向变化时起制动作用，提前预报误差的变化方向，能有效地减小超调[17]。但是如果微分时间常数过大，就会使阻尼过大，导致系统调节时间过长。
(2)数字PID控制
由于数字处理器只能计算数字量，无法进行连续PID运算，所以若使用数字处理器来实现PID算法，则必须对PID算法进行离散化。数字PID调节器的设计可以通过首先用经典控制理论设计出性能比较满意的模拟调节器，然后通过离散化方法得到。
PID算法的离散化有位置式和增量式两种常用实现方式。
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磁悬浮小球的PID控制
按模拟PID控制算法，以一系列的采样时刻点kT代替连续时间t，以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶向后差分近似代替微分，即可得位置式离散PID表达式为
ku(k)?Kpe(k)?Ki?e(j)?Kd(e(k)?e(k?1)) (3-7)
j?0式中，Ki?KpT/?i,Kd?Kp?d/T。T为采样周期，k为采样序号，k?1,2,??，
e(k?1)和e(k)分别为第(k?1)和第k时刻所得的偏差信号。
当执行机构需要的是控制量的增量时，采用增量式PID控制算法。增量式PID控制算法表达式为
?u(k)?Kp(e(k)?e(k?1))?Kee(k)?2e(k?1)?e(k?2)) (3-8) i(k)?Kd(在本设计中，由于是利用ATLAB来实现PID控制，故直接调用MATLAB中自带的Discrete PID Controller模块，避免了用高级语言描述差分方程的繁琐，仅需要确定PID控制器的参数就可以轻松的设计数字PID控制器。 3.2.2 PID控制参数整定方法与步骤
PID控制算法参数的整定就是选择Kp、Kd、Ki几个参数，使相应计算机控制系统输出的动态响应满足几个性能指示。PID参数整定一般有两种方法，理论设计法和实验确定法。用理论设计法确定PID控制参数的前提是要有被控对象准确的数学模型，并且理论设计法都要求系统是最小相位系统，这些是一般工业很难做到的。磁悬浮系统是强非线性系统，在实际过程中存在很多非线性因素干扰并且在平衡点线性化得到的系统模型是忽虑了很多非线性因素后得的方法[6]。
(1)工程试验法简介
工程试验法是通过仿真和实际运行，观察系统对典型输入作用的响应曲线，根据各控制参数对系统的影响，反复调节实验，直到满意为止，从而确定PID参数。根据理论可知：
从系统的稳定性、响应速度、超调量和稳态精度等各方面来考虑，各参数的作用如下错误！未找到引用源。：
?比例系数Kp的作用是加快系统的响应速度，提高系统的调节精度。Kp越大，系统的响应速度越快，系统的调节精度越高，但是容易产生超调，甚至会导致系统不稳定；Kp的值过小，将使系统的静态误差难以消除，影响系统的调节精度。
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第3章 控制器设计
?积分作用系数Ki的作用是消除系统的稳态误差。Ki 越大，及积分时间越短，系统的稳态误差消除的越快，但是Ki过大，在响应过程的初期会产生积分饱和现象，从而引起响应过程的较大超调；若Ki过小，将使系统的静态误差难以消除，影响系统的调节精度。
?微分作用系数Kd的作用是改善系统的动态性能，其作用主要是在系统过程中抑制偏差向任何方向的变化，对偏差变化进行响应。Kd过大，会使响应过程提前制动，从而影响调节时间，同时Kd对于噪声还有放大作用，会降低系统的抗干扰性能。
(2)工程实验法步骤
在工程实验时，参考各参数对控制过程的响应趋势，实行先比例，后积分，在微分的反复调整。其具体整定步骤如下[14]：
?整定比例系数
先将PID 控制器其中的Kd 为0，Ki为无穷，使之成为比例控制器，再将比例系数由小变大观察相应的响应，使系统的过渡过程达到4：1衰减的响应曲线，最优比例系数由此确定。
?加入积分环节
如果只用比例控制，系统的静差不能满足要求，则只需加入积分环节整定时，先将比例系数减小10％—20％，以补偿加入积分环节作用而引起的系统稳定性下降，然后由大到小调节Ki ，在保持系统良好动态性能的情况下消除静差。这一步可以反复进行，直到达到满意的控制效果。
?加入微分环节
经上两步调整后，若系统动态性能不能让人满意，可以加入积分环节，构成PID控制器。整定时，先置Kd为0，然后，在第二步的基础上在加大Kd，同时相应的改变比例系数和积分系数，最终达到满意的控制效果。
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