代入上式得
p2y2?1x2?2?2p?2??12 ?x222?y2?1， 由①与y0?0，得y?0， ①÷②，得x?2x?2??p?2p?2??1?x?0.
故点Q的轨迹方程为x22?y2?1?x?0,y?0?. （2）设点A?m,n??m?0,n?0?，过点A作椭圆的切线， 则切线的斜率存在且不为0，设斜率为k，
则切线方程为y?n?k?x?m??y?kx?n?km， 代入到椭圆方程整理， 得?1?2k2?x2?4k?n?km?x?2?n?km?2?2?0.
??16k2?n?km?2? 4?1?2k2???2?n?km?2?2???0，
即?m2?2?k2?2mnk?n2?1?0.
这个关于k的一元二次方程的两根即为kAB与kAD， 由kAB?kAD??1，
得n2?1m2?2??1?m2?n2?3. 设O为坐标原点，故可知OA?3， 同理，得OA?OB?OC?OD?3，
即点O为矩形ABCD外接圆的圆心，其中AC为直径，大小为23， 故矩形ABCD对角线长为定值23. 点睛：求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21．(1)见解析;(2)
12e. 【解析】试题分析：（1）由题意，得f??x??1?a?xex，对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数g?a?的解析式；（2）令h?a??g?a??ka?t.令h?a?的最小值恒大于等于零，从而得到kt的最大值.
试题解析：
（1）由题意，得f??x??1?a?xex. 当1?a??1，即a?2时， f??x??0?f?x?在x???1,1?时为单调递减函数， 所以f?x?最大值为g?a??f??1??e?a?1?.
当?1?1?a?1，即0?a?2时，当x???1,1?a?时， f??x??0， f?x?单调递增； 当x??1?a,1?时， f??x??0， f?x?单调递减， 所以f?x?的最大值为g?a??f?1?a??ea?1.
当1?a?1时，即a?0时， f??x??0， f?x?在x???1,1?时为单调递增函数，
所以f?x?的最大值为g?a??f?1??1?ae. e?a?1?,a?2,综上得g?a??{ea?1,0?a?2,
1?ae,a?0.（2）令h?a??g?a??ka?t.
①当0?a?2时， h?a??g?a??ka?t?ea?1?ka?t ?h??a??ea?1?k，
由h??a??0，得a?1?lnk，
所以当a??0,1?lnk?时， h??a??0； 当a??1?lnk,2?时， h??a??0，
故h?a?最小值为h?1?lnk??k?k?1?lnk??t ?0?t??klnk. 故当
1e?k?e且t??klnk时， g?a??ka?t恒成立. ②当a?2，且t??klnk时， h?a??g?a???ka?t? ?a?e?k??e?t. 因为e?k?0， 所以h?a?单调递增，
故h?a?min?h?2??2?e?k??e?t?2?e?k??e?klnk ?e?2k?klnk.
令p?k??e?2k?klnk， 则p??k??lnk?1?0，
故当k???1,e???e?时， p?k?为减函数， 所以p?k??p?e?， 又p?e??0， 所以当
1e?k?e时， h?a??0， 即h?a??0恒成立.
③当a?0，且t??klnk时，
h?a??g?a???ka?t??a??1?1?e?k???e?t，
因为
1e?k?0， 所以h?a?单调递减，
故h?a??0??11min?he?t?e?klnk.
令m?k??1e?klnk，
则m??k??1?lnk?0，
所以当k???1??e,e??时， p?k?为增函数，
所以m?k??m??1??e???0，
所以h?a??0，即h?a??0. 综上可得当
1e?k?e时，“t??klnk”是“g?a??ka?t成立”的充要条件. 此时tk??k2lnk.
令q?k???k2lnk，
则q??k???2klnk?k??k?2lnk?1?，
令q??k??0，得k?e?12.
故当k???e?1,e?12??时， q??k??0；
??当k???e?12,e??时， q??k??0，
????1所以q?k?的最大值为q?e2???1，
??2ek?e?12， t??klnk?1?1当且仅当2e2时，取等号，
故tk的最大值为
12e. 22．(1)见解析;(2) AB的最大值为213，最小值为211.
【解析】试题分析：（1）根据?cos??x，?sin??y，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，进而得到圆心和半径；（2）把直线l的参数方程代入圆M的标准方程，得
?1?tcos??2?2??2?tsin??3?2?13，利用根与系数的关系表示AB，从而得到最值.
试题解析：
（1）??4cos??6sin??
?2?4?cos??6?sin?
?x2?y2?4x?6y,
??x?2?2??y?3?2?13.
圆心为?2,3?，半径为13.
（2）把直线l的参数方程代入圆M的标准方程， 得?1?tcos??2?2??2?tsin??3?2?13， 整理得t2??2cos??2sin??t?11?0，
???2cos??2sin??2?44?0，
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2， 则t1?t2?2sin??2cos?， t1t2??11. 所以AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2
??2cos??2sin???4???11?,
2?4sin2??48.
因为sin2???1,1， 所以AB??211,213?，
??
??即AB的最大值为213，最小值为211.
a?2,?2b?a?2a?1, ?{由图可知{5 .
2?b?3??a?2a?1b??.2a?2,23．(1) ???,1?;(2) {5 .
b??.2【解析】试题分析：(1)利用绝对值三角不等式得到f?x?的最小值a，故原条件等价于
a?2a?1；
(2) 由2a?1?x?x?a?0，可知2a?1?0，所以a?方法求出实数a,b的值.
试题解析：
（1）对?x?R， f?x??x?x?a?x??x?a??a， 当且仅当x?x?a??0时取等号， 故原条件等价于a?2a?1，
即a?2a?1或a???2a?1??a?1， 故实数a的取值范围是???,1.
（2）由2a?1?x?x?a?0，可知2a?1?0， 所以a?1，故?a?0.利用数形结合的2?1， 2故?a?0.
?2x?a,x??a,故f?x??{a,?a?x?0, 的图象如图所示，
2x?a,x?0