2018年衡水金卷调研卷 全国卷 I A 理科数学模拟试题(三)含解析 下载本文

代入上式得

p2y2?1x2?2?2p?2??12 ?x222?y2?1, 由①与y0?0,得y?0, ①÷②,得x?2x?2??p?2p?2??1?x?0.

故点Q的轨迹方程为x22?y2?1?x?0,y?0?. (2)设点A?m,n??m?0,n?0?,过点A作椭圆的切线, 则切线的斜率存在且不为0,设斜率为k,

则切线方程为y?n?k?x?m??y?kx?n?km, 代入到椭圆方程整理, 得?1?2k2?x2?4k?n?km?x?2?n?km?2?2?0.

??16k2?n?km?2? 4?1?2k2???2?n?km?2?2???0,

即?m2?2?k2?2mnk?n2?1?0.

这个关于k的一元二次方程的两根即为kAB与kAD, 由kAB?kAD??1,

得n2?1m2?2??1?m2?n2?3. 设O为坐标原点,故可知OA?3, 同理,得OA?OB?OC?OD?3,

即点O为矩形ABCD外接圆的圆心,其中AC为直径,大小为23, 故矩形ABCD对角线长为定值23. 点睛:求定值问题常见的方法

①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.

②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 21.(1)见解析;(2)

12e. 【解析】试题分析:(1)由题意,得f??x??1?a?xex,对a分类讨论,明确函数的单调性,从而得到函数g?a?的解析式;(2)令h?a??g?a??ka?t.令h?a?的最小值恒大于等于零,从而得到kt的最大值.

试题解析:

(1)由题意,得f??x??1?a?xex. 当1?a??1,即a?2时, f??x??0?f?x?在x???1,1?时为单调递减函数, 所以f?x?最大值为g?a??f??1??e?a?1?.

当?1?1?a?1,即0?a?2时,当x???1,1?a?时, f??x??0, f?x?单调递增; 当x??1?a,1?时, f??x??0, f?x?单调递减, 所以f?x?的最大值为g?a??f?1?a??ea?1.

当1?a?1时,即a?0时, f??x??0, f?x?在x???1,1?时为单调递增函数,

所以f?x?的最大值为g?a??f?1??1?ae. e?a?1?,a?2,综上得g?a??{ea?1,0?a?2,

1?ae,a?0.(2)令h?a??g?a??ka?t.

①当0?a?2时, h?a??g?a??ka?t?ea?1?ka?t ?h??a??ea?1?k,

由h??a??0,得a?1?lnk,

所以当a??0,1?lnk?时, h??a??0; 当a??1?lnk,2?时, h??a??0,

故h?a?最小值为h?1?lnk??k?k?1?lnk??t ?0?t??klnk. 故当

1e?k?e且t??klnk时, g?a??ka?t恒成立. ②当a?2,且t??klnk时, h?a??g?a???ka?t? ?a?e?k??e?t. 因为e?k?0, 所以h?a?单调递增,

故h?a?min?h?2??2?e?k??e?t?2?e?k??e?klnk ?e?2k?klnk.

令p?k??e?2k?klnk, 则p??k??lnk?1?0,

故当k???1,e???e?时, p?k?为减函数, 所以p?k??p?e?, 又p?e??0, 所以当

1e?k?e时, h?a??0, 即h?a??0恒成立.

③当a?0,且t??klnk时,

h?a??g?a???ka?t??a??1?1?e?k???e?t,

因为

1e?k?0, 所以h?a?单调递减,

故h?a??0??11min?he?t?e?klnk.

令m?k??1e?klnk,

则m??k??1?lnk?0,

所以当k???1??e,e??时, p?k?为增函数,

所以m?k??m??1??e???0,

所以h?a??0,即h?a??0. 综上可得当

1e?k?e时,“t??klnk”是“g?a??ka?t成立”的充要条件. 此时tk??k2lnk.

令q?k???k2lnk,

则q??k???2klnk?k??k?2lnk?1?,

令q??k??0,得k?e?12.

故当k???e?1,e?12??时, q??k??0;

??当k???e?12,e??时, q??k??0,

????1所以q?k?的最大值为q?e2???1,

??2ek?e?12, t??klnk?1?1当且仅当2e2时,取等号,

故tk的最大值为

12e. 22.(1)见解析;(2) AB的最大值为213,最小值为211.

【解析】试题分析:(1)根据?cos??x,?sin??y,把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,进而得到圆心和半径;(2)把直线l的参数方程代入圆M的标准方程,得

?1?tcos??2?2??2?tsin??3?2?13,利用根与系数的关系表示AB,从而得到最值.

试题解析:

(1)??4cos??6sin??

?2?4?cos??6?sin?

?x2?y2?4x?6y,

??x?2?2??y?3?2?13.

圆心为?2,3?,半径为13.

(2)把直线l的参数方程代入圆M的标准方程, 得?1?tcos??2?2??2?tsin??3?2?13, 整理得t2??2cos??2sin??t?11?0,

???2cos??2sin??2?44?0,

设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, 则t1?t2?2sin??2cos?, t1t2??11. 所以AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2

??2cos??2sin???4???11?,

2?4sin2??48.

因为sin2???1,1, 所以AB??211,213?,

??

??即AB的最大值为213,最小值为211.

a?2,?2b?a?2a?1, ?{由图可知{5 .

2?b?3??a?2a?1b??.2a?2,23.(1) ???,1?;(2) {5 .

b??.2【解析】试题分析:(1)利用绝对值三角不等式得到f?x?的最小值a,故原条件等价于

a?2a?1;

(2) 由2a?1?x?x?a?0,可知2a?1?0,所以a?方法求出实数a,b的值.

试题解析:

(1)对?x?R, f?x??x?x?a?x??x?a??a, 当且仅当x?x?a??0时取等号, 故原条件等价于a?2a?1,

即a?2a?1或a???2a?1??a?1, 故实数a的取值范围是???,1.

(2)由2a?1?x?x?a?0,可知2a?1?0, 所以a?1,故?a?0.利用数形结合的2?1, 2故?a?0.

?2x?a,x??a,故f?x??{a,?a?x?0, 的图象如图所示,

2x?a,x?0