知识点四——受迫振动与共振

▲知识梳理 1．受迫振动

物体在周期性变化的驱动力作用下的振动叫受迫振动；物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。 2．共振

是一种特殊的受迫振动，当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动物体的振幅最大，这种现象叫共振。声音的共振叫共鸣。 ▲疑难导析 1．共振曲线

如图所示，共振曲线以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标。它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，

与

越接近，振幅A越大；当

时，振幅A最大。

2．受迫振动中系统能量的转化

受迫振动不是系统内部动能和势能的转化，而是与外界时刻进行着能量交换，系统的机械能也时刻变化。 3．发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功，总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加，振动物体的振幅增大。

当驱动力对系统做的功与摩擦力做的功以及介质阻力做的功之和相等时，振动系统的机械能不再增加，振幅不再增大。

例：如图为一单摆的共振曲线，根据图象解答： （1）该单摆的摆长约为多少？ （2）共振时单摆的振幅多大？

解析：

（1）从共振曲线可知，单摆的固有频率f=0. 5Hz，

因为 所以

， ，

代入数据解得1m

（2）从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅A＝8cm。 典型例题透析

题型一——简谐运动的图象

利用简谐运动的图象可以确定：

（1）可以确定振动物体在任一时刻的位移。 如图中，对应

时刻的位移分别为

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。

（2）确定振动的振幅。图中最大位移的值就是振幅，如图表示振动的振幅是10cm。

（3）确定振动的周期和频率。振动图象上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。

由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T=0.2s，频率

。

（4）确定各质点的振动方向。例如图中的时刻，质点正远离平衡位臵向位移的正方向运动；在时刻，质点正向着平衡位臵运动。

（5）比较各时间质点加速度的大小和方向。例如在图中时刻质点位移时刻

为负，则加速度

为正，又因为

，所以

。

为正，则加速度

为负，

例1、一质点简谐运动的振动图象如图所示。

（1）该质点振动的振幅是 cm；周期是 s；初相是________。 （2）写出该质点简谐运动的表达式，并求出当t=1s时质点的位移。 思路点拨：

（1）由图象可得出振幅、周期、初相。

，A和

为振幅和初相。将t=1s代入即可求出位移。

（2）由 解析：

（1）由质点振动图象可得A=8cm，T=0. 2s， （2）

rad/s

质点简谐运动表达式为，当t=1s时，x=8cm。 总结升华：

（1）应用振动图象可直接读出振幅、周期、初相。 （2）书写简谐运动表达式，可根据位移通式周期T，再根据

举一反三

，解出

代入即可。

，结合从图象上得到的振幅A和初相

、

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【变式】如图所示为一弹簧振子的振动图象。求： （1）从计时开始经过多长时间弹簧振子第一次达到弹性势能最大？

（2）在第2s末到第3s末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能、弹性势能各是怎样变化的？ （3）该振子在前100s内的总位移是多少？路程是多少？

解析：

（1）由图可知，在计时开始的时刻弹簧振子恰好沿x轴正方向通过平衡位置O，此时弹簧振子具有最大动能，随着时间的延续，速度不断减小，而位移逐渐增大，经ls，其位移达到最大，此时弹性势能最大。

（2）由图知，在t=2s时，弹簧振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断增加，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大；当t=3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。

（3）振子经过一周期位移为零，路程为5×4cm=20cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100s内振子位移s=0，路程

20×25cm=500cm=5m。

题型二——简谐运动具有往复性、对称性和周期性

简谐运动的过程特点

1．变化特点：抓住两条线

第一，从中间到两边（平衡位臵到最大位移）：E不变。

，

，

，动能

，势能

，机械能

第二，从两边到中间（最大位移到平衡位臵）：，动能，势能，机械能E不变。

2．运动规律

（1）周期性——简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能恢复到原来的状态。 （2）对称性——简谐运动的物体具有相对平衡位臵的对称性。

物体做简谐运动时，在同一位臵P点，振子的位移相同，回复力、加速度、动能和势能也相同，速度的大小相等，但方向可相同也可相反。在关于平衡位臵对称的两个位臵，动能、势能对应相等，回复力、加速度大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向可相同，也可相反，运动的时间也对应相等；一个做简谐运动的质点，经过时间t=nT（n为正整数），则质点必回到出发点，而经过t＝(2n+1)点所处位臵必与原来位臵关于平衡位臵对称。

例2、一弹簧振子做简谐运动，周期为T（ ） A．若t时刻和 B．若t时刻和 C．若

时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则

时刻振子运动的加速度一定相等

（n为正整数），则质

一定等于T的整数倍 一定等于T/2的整数倍

= T，则在t时刻和

D．若=T/2，则在t时刻和时刻弹簧的长度一定相等 思路点拨：利用简谐运动的周期性和对称性分析求解。

解析：对A选项，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，如图所示，设在P点，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，可以是振子由P向B再回到P的时间，故认为

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一定等于T的整数倍是错误的；

对B选项，振子两次到P位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定等于T/2的整数倍，选项B也是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必定相同，选项C是正确的；相隔T/2的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于P和对称的处，在P处弹簧处于伸长状态，在处弹簧处于压缩状态，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的。

答案：C

总结升华：简谐运动的周期性——简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。简谐运动的对称性——简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。 举一反三 【变式】一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需的时间是（ ） A.8s B.4s C.14s D.

s

答案：CD

解析：由简谐振动的对称性可知，质点由O→a，a→O；O→M，M→O；M→b，b→M；所用时间分别对应相等。又因为开始计时时，质点从O点开始运动方向不明确，故应分为两种情况讨论。 （1）当质点开始从O点向右运动时，由题意得， 故质点第三次达M点还需要时间为t=

＋2

=3s，2

=2s，而

＋

=

，所以有T=16s，

=8s＋6s=14s。 ＋

=3s，2

=2s，

（2）当质点开始从O点向左运动时，由题意得， 而

＋

=

，所以有T=

s，

=

s，

=

s。

故质点第三次达M点还需要时间为=

题型三——单摆的周期

＋2

等效单摆的周期公式中是等效重力加速度。

等于摆球静止时摆线的张

等效重力加速度由单摆所在的空间位臵决定，一般情况下等效重力加速度力（视重）与摆球质量的比值。

例3、如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是R，所对圆心角小于右侧边缘M处放一个小球A，使其由静止下滑，则：

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，现在圆弧的

（1）球由A至O的过程中所需时间t为多少？在此过程中能量如何转化？（定性说明）

（2）若在MN圆弧上存在两点P、Q，且P、Q关于O对称，且已测得球A由P直达Q所需时间为，则球由Q至N的最短时间为多少？

（3）若在圆弧的最低点O的正上方h处由静止释放小球B，让其自由下落，同时A球从圆弧右侧由静止释放，欲使A、B两球在圆弧最低点O处相遇，则B球下落的高度h是多少？

思路点拨：要抓住圆弧光滑且圆心角小于这个条件，隐含条件是小球的运动可等效为单摆，即球在圆弧上做简谐运动。从而利用简谐运动的周期性和对称性以及机械能守恒定律解决问题。 解析：

（1）由单摆周期公式知：球A的运动周期，

所以

在由A→O的过程中球A的重力势能转化为动能。 （2）由对称性可知

代入数据解得Q至N的最短时间

（3）欲使A、B相遇，则两球运动时间相同，且必须同时到达O点， A球能到O点的时间可以是

，也可以是

。

或

故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历的时间可以是

所以A球运动的时间必为的奇数倍，即

所以。

总结升华：本题易出现的错误一是不会利用简谐运动对称性；二是不注意周期性带来多解问题，误认为从A到O时间仅为

。

第二部分 机械波 知识要点梳理

知识点一——机械波 ▲知识梳理 1．波的形成

机械振动在介质中的传播形成机械波。条件：①波源；②介质。 2．机械波的分类

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