东北大学2011-2012(1)概率统计试题及参考答案

一、 选择题（每小题3分，共15分） 1. 随机事件ABABAB发生，意味着[ ].

(A)A,B都发生；(B)A,B至多有一个发生； (C)A,B恰好有一个发生；(D)A,B至少有一个发生.

2. 设随机变量X??23???，则X的分布函数为[ ]. ?0.40.6??0,x??2,?0.4,x??2,??(A)F(x)??0.4,?2?x?3, (B)F(x)??0.6,?2?x?3,

?0.6,x?3.?1,x?3.???0,x??2,?0,x??2,??(C)F(x)??0.4,?2?x?3, (D)F(x)??0.4,?2?x?3,

?1,x?3.?1,x?3.??3. 已知XN(?1,?12),Y2N(?2,?2)，且P{X??1?1}?P{Y??2?1}，正确的是[ ].

(A)?1??2； (B)?1??2；(C)?1??2；(D)?1??2. 4. 设X1,X2,不正确的是[ ].

,Xn是来自总体N(?,?2)的简单随机样本，X,S2分别为样本均值和样本方差，

X??(A)?nN(0,1); (B)

(n?1)S2?2?2(n?1); (C)X??Snt(n); (D)X与S2相互独立.

5. 对原假设H0和备择假设H1，[ ]为犯第一类错误.

(A) H1真，拒绝H1； (B) H1不真，拒绝H1； (C)H1真，接受H1； (D)H1不真，接受H1. 二、填空题（每小题4分，共20分）

1. 设事件A1, A2, A3相互独立，且P(Ai)=1/3( i=1,2,3)，则A1, A2, A3至少发生一个的概率为. 2. 设随机变量X,Y,Z相互独立，概率密度函数分别为

?1?,1?x?3,fX(x)??2??0,其他,则E(3X –YZ2)=.

3. 二维正态变量(X,Y)y?1?1?e2,y?0,fY(y)??2? y?0,?0,fZ(z)?12?e?(z?1)22,???z???，

N(?2,1,8,15,0)，则Y，X与Y（独立，不独立，相关）.

4. 设X,S2是二项总体B(10, 0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则E(X–S2)=.

5. 设某次考试的成绩服从正态分布N(?,?2)，其中?,?2均未知. 随机调出其中36位考生的成绩，算得平均分是66.5，标准差为15. 为检验这次考试的平均成绩是否为70分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为.

X\\Y三、（12分）设随机变量(X,Y)的分布律为01Cov(X, Y)；（3）判断X, Y的独立性与相关性. 四、（共11分） 1.（6分）设随机变量X1020.20.30，（1）求Z = 2X– Y的分布律；（2）求00.40.1?ax,0?x?2,（1）求常数a；（2）求分布函数F(x). f(x)???0,其他.2?,x?0,?f(x)???(1?x2)求Y?lnX的概率密度函数.

?0, x?0,?2.（5分）设随机变量X五、（12分）设二维随机变量(X,Y)在由直线x =2, y = x/2及x轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）（2）Z =X +Y的概率分布. fX(x),fYX(yx)；

六、（10分）某系统装有三个电子元件. 假设：系统启动时它们同时开始工作；三个元件工作状态相互独立，且无故障工作的时间Ti(i =1,2,3)均服从参数为?(??0)的指数分布；只要有一个元件在工作，系统就能正常工作（正常工作的时间记为T）.（1）求参数为?的指数分布的分布函数；（2）给出T与T1、T2、T3的函数关系；（3）求T的概率密度函数. 七、（共12分） 1.（6分）设随机变量Xa?1??ax,0?x?1,其中a(a?0)未知，X1,X2,…,Xn是来自总体X的f(x)?? 其他,??0,简单随机样本，求a的矩估计.

X0232.（6分）已知总体X的分布律为，其中?(0???1)未知；总体X的一组

P?21???(1??)样本值中有3个为0、4个为2、2个为3，求?的最大似然估计.

八、（8分）基于人一年内的死亡率为0.1%，并经过市场调研，某保险公司设计了一种年险：参加保险的人，只须在一年的第一天交付保险费10元，一旦死亡，家属可从保险公司领取2000元. 试问：（1）至少有多少人参加该保险才能保证保险公司亏本的概率为0？（提示：首先设参保人数，再设随机变量，表示出保险公司“不亏本”事件，然后利用中心极限定理计算概率）（2）若一年内有n人投保，则保险公司一年内所获利润、平均利润各是多少？（3）结合（1）、（2）的结果，．．

简单谈谈你对保险及保险公司的看法.（本题约定：0??(x)?1,x?4;?(x)?1,x?4） ．．．．

答案：

一、B D A C D

(y?1)?12二、1. 19/27; 2. 2; 3. N(1, 15) 或

30?e30；独立； 4. 1.6； 5. H0 :μ=70，H0: μ≠70；T?X?70Sn.

三、（1）

Z?2?1012P00.20.400.4

（2）Cov(X, Y)= E(XY) – E(X)E(Y)=1*2*0.1–0.5*0.4=0

（3）P{X=1, Y=1}=0≠0.1=P{X=1}·P{Y=1}，所以X, Y不独立.

因为Cov(X,Y)=0，D(X)?0,D(Y)?0，所以ρ(X,Y)=0，故X, Y不相关. 四、1.（1）∵?????f(x)dx?1

∴?2axdx?1,a10?2 ??0,x?0,（2）F(x)??x??f(x)dx???14x2,0?x?2,

???1,x?2.2. ∵y??(lnx)??1x?0(x?0) y∴fyy)??2eY(y)?fX(e)(e?(1?e2y)

六、（1）f(x)????e??x,x?0,?1?e??x,x?0,x?0.F(x)?P{X?x}?0 ???0,x?0. （2）T=max{T1,T2,T3}

（3）Ft)?P{T?t}?P{max{T}?P{T3?(1?e??t)3,T(1,T2,T3}?t1?t,T2?t,T3?t}?FT(t)???0,t?0.?3e??t(1?e??t)2f,t?0,T(t)??t?0. ?0,五、f(x,y)???1,0?x?2,0?y?x/2,?0,其他.

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