小学函数思想和模型思想的教学策略
孙家芳朝阳区教育研究中心 曹艳北京教育学院朝阳分院
中科院院士、数学家张景中在一文中指出:“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴涵着一些深刻的数学思想。最重要的，首推函数思想。……不用给小学生讲函数概念，但教师要有函数思想，在教学中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生的素质就有好处。”
一、小学数学中渗透函数思想的教学策略
关于函数思想：在小学阶段虽然没有出现?函数?这一概念，但整个小学阶段的数学学习中无不渗透着函数的思想，可以这样说，凡是有“变化”的地方都蕴涵着函数思想。
问题1：什么是函数？
初中:在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，都有唯一的一个y值与之对应，我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
高中:A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作:y=f(x),x∈A
现代数学:两个集合A,B,F是一个从A到B的二元关系，如果对于A中的每一个元素x，都有唯一的Y满足
问题2：什么是函数思想？
函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。具体地说，函数思想体现于:
★认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即“普遍联系”的观点；
★于“变化”中寻求“规律(关系式)”，即“模式化”思想； ★于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想；
★感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变动的； ★根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即“预测”的思想。
于“变化”中把握“规律”，并根据规律做出预测，不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是?过程?，不变的是?规律?(关系)”。学生愿意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想
在教学中的渗透。
问题3：函数思想在小学数学教学中的渗透
函数思想在小学阶段强调的是\渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。
在小学数学教学中渗透函数思想，要把握以下两条基本原则: （1）创设“变化”的过程，才能感受到函数思想。
（2）激发学生“探究”的本性，于“变”中把握“不变”，满足人的好奇本性。 1．探索规律——对“模式”的初步认识
《标准》把“探索规律”作为渗透函数思想的一个重要内容，“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”的思想，发现规律就是发现一个“模式”。
(1)对数或者图形排列规律的探索 ※探索图形排列中的规律
一年级下册：你发现了什么？如果按照这样的规律继续下去，后面一个应该是什么？摆一摆、涂一涂、接着摆等问题。重点突出刻画的是相同的规律，而这个一般化的过程就是对函数的一个最基本的性质——周期的渗透。
※探索数列中的规律也多出现在第一学段的各册教材中。
一年级下册：百数表中的规律，在“百数表”中除了可以探索数的排列规律(横着、竖着、斜着)外，还可以进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律，甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律，这些规律中蕴含着多种变化的模式。
（2）对运算规律的探索
如：数的组成：学生把8个物体分成两部分，把其中一部分中一个一个向另一部分“转移”，得出把8分成两部分可以有四种不同分法的结论的同时，还会发现“随着一部分多1个，另一部分必然少1个”的规律。
对于“乘法中的运算规律”的探索：乘法口诀的学习是“一串一串”的，使得在学生编口诀、背口诀的过程中就发现了：“一个因数不变，积随着另一个因数的变化而变化”的规律。乘法口诀表中，更是集中体现了这个规律。
六年级下册正反比例意义的学习是对变化“模式”的一次集中探索，这一内容的学习中，以表格的形式呈现了多种不同的变化规律。
2．基本数量关系、图形位置与变换——对“关系”的体验 函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”。 （1）体验“一对一”“多对一”
“一一对应”在小学数学教材中是贯穿始终的。