第五讲 矩阵的Jordan标准形

一、 特征值与特征向量

1. 定义：对m阶方阵A，若存在数?，及非零向量（列向量）x，

使得Ax??x,则称?为A的特征值，x为A的属于特征值?的特征向量。

? 特征向量不唯一 ? 特征向量非零

?(?I?A)x?0有非零解，则det(?I?A)?0，称

det(?I?A)为A的特征多项式。

?122??，求其特征值和特征向量。 212[例1]A??????221????1[解] det(?I?A)??2?2?2?2?2?0

??1?2??1 (??1)2(??5)?0 ?1??2??1 ?3?5

属于特征值???1的特征向量 (?I?A)x?0

?222???1??222?????0

?1??2??3?0 ???2???222?????3????1??1???2??2 ???????12?3?1??0?? x??1? 0可取基础解系为 x1??2????????1????1??属于??5的特征向量 (5I?A)x?0

?4?2?2???1???24?2?????0

?1??2??3 ???2????2?24?????3???1?? 1可取基础解系为 x3??????1??2. 矩阵的迹与行列式

trA??aii 所有对角元素之和

i?1n detA???i trA???i

i?1i?1nn3. 两个定理

（1） 设A、B分别为m?n和n?m阶矩阵，则 tr(AB)?tr(BA)

（2）sylvster定理：设A、B分别为m?n和n?m阶矩阵，则

det(?Im?AB)??m?ndet(?In?BA)

即：AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。

二、 矩阵对角化的充要条件

定理：n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n个线

性无关的特征向量。

[证明] 充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量x1,x2,?,xn，则 Axi??ixi i?1,2,?,n A?x1x2?xn????1x1?2x2??nxn? ??x10???1???2? x2?xn????????n??0x1,x2,?,xn线性无关，故P??x1x2?xn?为满秩矩阵，

0???1???2?，则有 令????????0?n?? AP?P? P?1AP??

0???1???2? 必要性：已知存在可逆方阵P，使P?1AP?????????0?n??将P写成列向量P??P1P2?Pn?，Pn为n维列向量 ?AP1AP2?APn????1P1?2P2??nPn? 可见，?i为A的特征值，Pi为A的特征向量，

?

A具有n个线性无关的特征向量。

推论：n阶方阵有n个互异的特征值，则必可对角化。（充分条件）

三、Jordan标准形

1. Jordan标准形的存在定理

任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形：