思考题作业题解答

1–11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？

答：衡量数字通信系统有效性的性能指标有：码元传输速率RB、信息传输速率Rb、频带利用率?。

衡量数字通信系统可靠性的性能指标有：误码率Pe和误信（比特）率Pb。 1–12 何谓码元速率和信息速率？它们之间的关系如何？

答：码元速率RB是指单位时间（每秒）传送码元的数目，单位为波特（Baud，B）。

信息速率Rb是指单位时间内传递的平均信息量或比特数，单位为比特/秒（b/s或bps）。 码元速率和信息速率的关系： R b ? B log 2 M ( b/s R) 或 RbRB?(B)k

其中 M为M进制（M＝2 ，k = 1, 2, 3, …）。 log2M1–13 何谓误码率和误信率？它们之间的关系如何？

答：误码率Pe是指错误接收的码元数在传输总码元数中所占的比例。

误信率Pb是指错误接收的比特数在传输总比特数中所占的比例。 在二进制中有：Pe＝Pb 。 第1章 绪论（ 习题 ）

1–4 一个由字母A、B、C、D组成的字，对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码：00代替A，01代替

B，10代替C，11代替D，每个脉冲宽度为5ms。

(1) 不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；

(2) 若每个字母出现的可能性分别为PA ＝1/5，PB ＝1/4，PC ＝1/4，PD ＝3/10，试计算传输的平均信息速率。

解：(1) 平均每个字母携带的信息量，即熵为2（比特/符号）

－

每个字母（符号）为两个脉冲，其宽度为2×5 ms＝102（s）

－

则平均信息速率为：2（比特/符号）／102（秒/符号）＝200（b/s）

(2) 平均信息量为H(x)?11310?log25?2??log24??log2?1.985（比特/符号） 54103－

－

平均信息速率为：H(x)／102＝1.985／102＝198.5（b/s）

1–7 设一数字传输系统传送二进制码元的速率为2400 B，试求该系统的信息速率。若该系统改为传送16进制信号码元，码元速率不变，则这时的系统信息速率为多少（设各码元独立等概率出现）？ 解：对于二进制Rb ＝RB ＝2400（b/s），对于16进制Rb ＝RB ×log2M＝2400×log216＝9600（b/s）。

1–9 如果二进制独立等概信号的码元宽度为0.5ms，求RB 和Rb ；若改为四进制信号，码元宽度不变，求传码率RB 和独立等概时的传信率Rb 。

解：码元宽度T＝0.5ms，则传码率RB ＝1／T＝1／(0.5×10-3) ＝2000（B）

二进制独立等概信号平均信息量为1（比特/符号），其传信率为：

Rb ＝1 (比特/符号）／(0.5×10-3)（秒/符号）＝2000（b/s）

四进制时，码元宽度不变，T＝0.5ms，传码率RB ＝1／T＝2000（B） 四进制信号平均信息量为2（比特/符号），其传信率为：

Rb ＝2（比特/符号）／（0.5×10-3）（秒/符号）＝4000（b/s）

1–10 已知某四进制数字传输系统的传信率为2400 b/s ，接收端在0.5 h内共收到216个错误码元，试计算该系统的误码率Pe 。

解：系统的传码率RB为：RB＝ Rb／log2M＝2400／log24＝1200（B） （M＝4）

0.5 h内接收端收到码元总数：1200×0.5×60×60＝2160000（个） 则系统的误码率：Pe＝216／2160000＝10-4

3–4 平稳过程的自相关函数有哪些性质？它与功率谱密度的关系如何？ 答：平稳过程的自相关函数R(?)的性质：

R(?) 是时间差?的函数；当? = 0时，R(0)等于平稳过程的平均功率；R(?)是? 的偶函数；R(?)在? = 0时有最大值；当? = ∞ 时，R(∞) 等于平稳过程的直流功率；R(0 )－ R(∞) = ?2 等于平稳过程的交流功率。

1

R(0)?E[?(t)]R(?)?E2[?(t)]?a22R(?)?R(??)R(0)?R(?)??2R(?)?R(0)当均值为0时，有R(0) = ?2。

即： —?(t)的平均功率； —?的偶函数； —R(?)的上界；

—?(t)的直流功率； —?(t)的交流功率。

平稳过程的自相关函数R(?) 与其功率谱密度P? ( f )是一对付里叶变换。 3–9 窄带高斯过程的包络和相位分别服从什么概率分布？

答：窄带高斯过程的包络和相位分别服从瑞利分布和均匀分布。 3–10 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？

答：一个均值为零的窄带平稳高斯过程?(t) ，它的同相分量?c(t) 和正交分量?s(t) 同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的?c(t) 和?s(t) 是互不相关的或统计独立的。 第3章 随机过程（ 习题 ）

3–5 已知随机过程z(t) ＝ m(t) cos (?ct＋?)，其中m(t) 是广义平稳过程，且其自相关函数为

1＋? - 1＜ ? ＜ 0

Rm (?)＝ 1－? 0≤ ? ＜ 1

0 其它 随机变量 ? 在（0,2?）上服从均匀分布，它与m(t) 彼此统计独立。

(1) 证明z(t) 是广义平稳的；

(2) 试画出自相关函数Rz (?) 的波形； (3) 试求功率谱密度Pz ( f )及功率S。 解：(1) 先求z(t) 的统计平均值：

数学期望：

2?1 az(t)?E[m(t)cos(?ct??)]?E[m(t)]?E[cos(?ct??)]?E[m(t)]?cos(?ct??)d?02? 2???ct1?E[m(t)]?cos??d???E[m(t)]?0?0 ?ct2?自相关函数：

R(t,t)?E[m(t)cos(?t??)m(t)cos(?t??)]?E[m(t)m(t)]?E[cos(?t??)cos(?t??)]z121c12c212c1c2 1E[cos(?t??)cos(?t??)]?E{cos?c(t2?t1)?cos[?c(t2?t1)?2?]}c1c2 2 112?1?cos?(t?t)?cos[?(t?t)?2?]d?c21c21 0222? 114???c(t2?t1)1??cos?(t?t)?cos?d??c21 ?(t?t)c21242? 11?cos?(t?t)?0?cos?c(t2?t1)c21

22令t2 – t1 = ? ，E [ m(t1) m(t2) ]＝E [ m(t2 – ?) m(t2) ] ＝ Rm (?)，得到

11

Rz(t1,t2)?Rm(?)?cos?c???Rm(?)?cos?c? 22可见，z(t) 的数学期望为常数0，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔? 有关，所以z(t) 是广义平稳过程。

(2) Rz (?) 的波形略。

(3) 令Rm (?) ? Pm ( f )，先对Rm (?) 求两次导数，Rm`` (?) ＝ ? (?+1)－2? (?)＋? (?–1)

利用付氏变换的性质： ndf(t)?j?t0求出m(t) 的功率谱密度Pm (? )： n(j?)nF(?)f(t?t0)F(?)edt

1124j??j?22 Pm(?)?[e?2?e]?[2cos??2]?[1?cos?]?sin(?/2)?sa(?/2)2222(j?)(j?)??

再利用付氏变换的特性：f (t) cos?0t ? 1/2 [F(? + ?0)＋F(?–?0)]

????

Pz(?)?1?2???c2???c?sa()?sa(2 )?4?22??求出Pz (? )：

功率S ＝ Rz ( 0 ) ＝ 1/2

3–8 一个中心频率为fc 、带宽为B的理想带通滤波器如图P3-1所示。假设输入是均值为零、功率谱密度为n0 /2 的高斯白噪声，试求：

(1) 滤波器输出噪声的自相关函数； (2) 滤波器输出噪声的平均功率； (3) 输出噪声的一维概率密度函数。

BB?n0解：(1) 滤波器输出噪声的功率谱密度为 ?fc??f?fc?P0(f)??222

?其它f?0则其自相关函数为

BB ??fc?nfc?nsin?B?j2?f?j2?f?00j2?f?22P0(f)edf?edf?Bedf?n0Bcos2?fc? R0(?)?B???fc?f?c22?B?22

?n0B?sa(?B?)?cos2?fc?

(2) 滤波器输出噪声的平均功率：N0 ＝R0 (0)＝n0 B

(3) 因为高斯型过程通过线性系统（理想带通滤波器）后的输出过程仍是高斯型的，所以输出噪声是高斯噪声。其均值为零{ 0×H(0) }、方差为 ?2 ＝R0 (0)＝n0 B，一维概率密度函数为：

?1x2??f(x)?exp?? ?2n0B?2?n0B??

第4章 信道（ 思考题 ）

4–8 何谓恒参信道？何谓随参信道？它们分别对信号传输有哪些主要影响？

答：信道的特性基本上不随时间变化或变化极慢极小，这种信道称为恒定参量信道，简称恒参信道。 信道的特性随机变化，这种信道称为随机参量信道，简称随参信道。

恒参信道对信号传输的主要影响有：频率失真、相位失真、非线性失真、频率偏移和相位抖动等。 随参信道对信号传输的主要影响有：衰减随时间变化；时延随时间变化；多径效应。 4–17 试述信道容量的定义？

答：信道容量是指信道能够传输的最大平均信息速率。 第4章 信道（ 习题 ）

4–7 设一幅黑白数字相片有400万个像素，每个像素有16个亮度等级。若用3kHz带宽的信道传输它，且

信号噪声功率比等于10dB，试问需要传输多少时间？ 解：该信道是连续信道。

设信息传输速率为Rb，传输一幅黑白数字相片的时间为t。

假设每个像素独立地以等概率取16个亮度电平，则每个像素的信息量为：Ip = -log2(1/ 16) = 4 (bit) 一幅黑白数字相片的信息量为：IF = 4,000,000 ? 4 = 16,000,000 (bit)，而IF = Rbt Rb= IF / t 已知信道带宽B＝3kHz ，信噪功率比S/N ＝10dB（S/N ＝10），则连续信道的容量Ct为： Ct ＝ B log2 (1＋S/N) ＝3×103 log2 (1＋10) ＝10.38×103 (b/s) 为了无失真地传输信息，取Ct＝Rb，即Ct＝IF / t，则 t ＝IF / Ct ＝16×106/ 10.38×103 ＝1541（s）＝25.67（m）＝0.428（h） 传输一幅黑白数字相片需要0.428小时。

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