《通信原理》习题第二章
可以对
Rm(?)求两次导数，再利用付氏变换的性质求出
Rm(?)的付氏变换。
R''2)2wm(?)??(??1)?2?(?)??(??1)?Pm(w)?sin(w/w/2?Sa(2)
?P1w?w0Z(w)?4[Sa2(w?w02)?Sa2(2)]
功率S：
S?RZ(0)?1/2
)?a习题2.22已知噪声
n(t)Rn(?的自相关函数
2exp(?a?)，a为常数： 求
Pn(w)和S；
解：
exp(?a?)?2a因为
w2?a2
2R(?)?aw)?a所以
n2exp(?a?)?Pn(w2?a2
S?R(0)?a2
习题2.23?(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该
自相关函数
R(?)?1??。试求
?(t)的功率谱密度P?(w) 。
R(?)?1???Sa2(w解：见第2. 4 题
2)
因为
?T(t)???n????(t?2n) 所以
?(t)?R(?)*?T(t)
据付氏变换的性质可得
P?(w)?PR(w)F?(w)
???而
?T(t)?n????(t?2n)???n????(w?n?)
故
PP2?(w)?R(w)F?(w)?Sa(w2)*???w?n?n????(w?n?)?Sa2(2)*???n????(w?n?)
习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为
n0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为
wc、带宽为B的
理想带通滤波器上，如图
（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解：
P2n0o(w)?H(w)Pi(w)?（1）
2H(w)
?G2w0(w)?Sa(w0?)因为
w0,故
G2B?(w)?BSa(B??)
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《通信原理》习题第二章
又
H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]
?(w?wc)??(w?w1c)??cos(wc?)
f1由 付氏变换的性质 1(t)f2(t)?2?F1(w)*F2(w)
可得
Po(w)?n02H(w)?n02G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)
22（2）
E[?o(t)]?0；
R(0)?E[?0(t)]?Bn0；
R(?)?E[?o(t)]?0
所以
?2?R(0)?R(?)?Bn0
又因为输出噪声分布为高斯分布
2f[?0(t)]?1exp(?t可得输出噪声分布函数为2?Bn02Bn)0
习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为n0/2的白噪声时，输出过程的功率谱
密度和自相关函数。
解：
1H(w)?jwC1R?1?jwRC?1jwC
PO(w)?Pi(w)H(w)2?n0*1(1)
21?(wRC)2
exp(?a?)?2a(2) 因为
w2?a2
po(w)?n0?R0O(?)?n所以
2*1(wRC)2?14RCexp(??RC)
习题2.26将均值为0，功率谱密度为n0/2高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。
解：
H(w)?R
R?jwL
2P?P2R?o(w)i(w)H(w)?n0(1)
2*RR2?(wL)2?RO(?)?n04Lexp(?L)
(2)
E[n0(t)]?0；
?2?R(0)?R(?)?R(0)?n0R4L
习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为Tb，脉冲幅度取?1的概率相等。现假
设任一间隔
Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：
R???0,??T?b?(t)（1） 自相关函数
??1??/Tb,??Tb
（2） 功率谱密度
P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]2。
解： （1）
R?(?)?E[?(t)?(t??)]
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《通信原理》习题第二章
①当??Tb??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故R?(?)=0 2Tb在图示的一个间隔
内，该波形取-1 -1、1 1、-1 1、
TbR?(?)?E[?(t)?(t??)]?内，
14*(Tb??Tb??Tb) ②当
时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在
?11 -1 的概率均为
4。
（A）
波形取-1-1、11 时，
在
图
示
的
一
个
间
隔
R?(??)E?[t??(14t)??(?
（B）
波形取-1 1、1 -1 时，
Tb内]当
?Tb时
，
R(?)?E[?(t)?(t??)]?2*11Tb?????4?2*4(T?)?1?bTbTb
R(t)???0,??T?b?故
??1??/Tb,??Tb
（2）
11/4?A?A?
2Sa2(w?4),其中
2为时域波形的
RwTb?(?)?p?(w)?TbSa2(2)面积。所以
。
习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，
?(t)是平稳的，求
?1(t)与
?2(t)的互功率
谱密度的表示式。（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）
解：
???1(t)???(t??)h1(?)d??2(t)???(t??)h2(?)d?0
0
10
，
)*
《通信原理》习题第二章
R12(t1,t1??)?E[?1(t1)?2(t1??)]??
E[n0(t)]?0P0(w)?n02*;
?E[??(t1??)h1(?)d???(t1????)h2(?)d?]0011?(wRC)2?R0(?)?n04RCexp(??RC)??2?n04RC
?????h1(?)h2(?)R?(?????)d?d?00
所
以
????P1(????j?????????????????2w)??????????
'令
???????
???P(w)??h(?)ejw?d??h(?)e?jw?12d??[R'?''*?(?)e?jwd??H1(w)H2(w)P?(w)00??
习题2.29若?(t)是平稳随机过程，自相关函数为R?(?)，试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。
解：
h(t)??(t)??(t?T)?H(w)?1?e?jwT
H(w)?(2?2cowsT1/)2
P)?H(w)2O(wP?(w)?2(1?coswT)P?(w)
P?jwTO(w)?2P?(w)?2coswT*P?(w)?2P?(w)?(e?ejwT)P?(w)
?2R?(?)?R?(??T)?R?(??T)
习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求输
出过程的一维概率密度函数。
解：
又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为
2f[x]?12??exp(?x2?2)
w
R(11