第一章 数列

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．

知识点一 知识网络

知识点二 对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式

等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 定义 个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示 递推公式 an＋1－an＝d 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数an＋1＝q an如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab 中项 列．这时A叫作a与b的等差中项，并且A＝a＋b 2通项公式 前n项和公式 an＝a1＋(n－1)d Sn＝na1＋an2＝na1＋an＝a1qn－1 a11－qnq≠1时，Sn＝＝ 1－q

nn－12d a1－anq， 1－qq＝1时，Sn＝na1 am，an的关系 m，n，s，t∈N＋， 性质 am－an＝(m－n)d am＋an＝as＋at amm－n＝q anaman＝asat m＋n＝s＋t {kn}是等差数列，且kn∈N＋ n＝2k－1，k∈N＋ 利用定义 判断方法 利用前n项和公式 利用中项 利用通项公式 {akn}是等差数列 {akn}是等比数列 k－1a1a2·…·a2k－1＝a2 kS2k－1＝(2k－1)·ak an＋1－an是同一常数 an＋an＋2＝2an＋1 an＝pn＋q，其中p、q为常数 an＋1是同一常数 ananan＋2＝a2n＋1 an＝abn(a≠0，b≠0) Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0Sn＝an2＋bn (a，b为常数) 且q≠1或Sn＝np(p为非零常数) 知识点三 本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想 1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了________法和________法； 2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了____________法和____________法． 3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意____个求其余____个，用到了方程思想．

4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了________思想．

5．等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了________．

类型一 方程思想求解数列问题

例1 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，

a3＋4构成等差数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，

an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转

换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．

跟踪训练1 记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.

类型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1. (1) 设cn＝n，求证数列{cn}是等差数列；

2(2) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．

反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．

跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)． (1)求a2，a3的值；

(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列． 类型三 函数思想求解数列问题 命题角度1 借助函数性质解数列问题

例3 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝

ann1t(n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>an＋336

总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．

反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．

3

跟踪训练3 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋

2

a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)设Tn＝Sn－(n∈N＋)，求数列{Tn}最大项的值与最小项的值．

Sn命题角度2 以函数为载体给出数列

例4 已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)若a1＝0，求a2，a3，a4；

(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值．